Álgebra Ejemplos

$x (2 x - 3) < 5 x < 3 x (x + 7)$

Paso 1

Resuelve $x (2 x - 3) < 5 x$ en $x$ .

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Paso 1.1

Simplifica $x (2 x - 3)$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + x (2 x - 3) < 5 x$

Paso 1.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 3 < 5 x$

Paso 1.1.2.2

Reordena.

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Paso 1.1.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 < 5 x$

Paso 1.1.2.2.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x < 5 x$

Paso 1.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x < 5 x$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x < 5 x$

$2 x^{2} - 3 x < 5 x$

Paso 1.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x^{2} - 3 x - 5 x < 0$

Paso 1.2.2

Resta $5 x$ de $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 8 x < 0$

Paso 1.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} - 8 x = 0$

Paso 1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} - 8 x$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 8 x = 0$

Paso 1.4.2

Factoriza $2 x$ de $- 8 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 4) = 0$

Paso 1.4.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (x - 4) = 0$

Paso 1.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 1.6

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.7

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.7.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.7.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) (2 (- 2) - 3) < 5 (- 2)$

Paso 1.10.1.3

$14$ del lado izquierdo no es menor que $- 10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$(2) (2 (2) - 3) < 5 (2)$

Paso 1.10.2.3

$2$ del lado izquierdo es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 1.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 1.10.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$(6) (2 (6) - 3) < 5 (6)$

Paso 1.10.3.3

$54$ del lado izquierdo no es menor que $30$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 4$

Paso 2

Resuelve $5 x < 3 x (x + 7)$ en $x$ .

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Paso 2.1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Paso 2.2

Simplifica $3 x (x + 7)$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe.

$0 + 0 + 3 x (x + 7) > 5 x$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Paso 2.2.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Paso 2.2.5

Multiplica $7$ por $3$ .

$3 x^{2} + 21 x > 5 x$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 2.3.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$3 x^{2} + 21 x - 5 x > 0$

Paso 2.3.2

Resta $5 x$ de $21 x$ .

$3 x^{2} + 16 x > 0$

Paso 2.4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 x^{2} + 16 x = 0$

Paso 2.5

Factoriza $x$ de $3 x^{2} + 16 x$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 16 x = 0$

Paso 2.5.2

Factoriza $x$ de $16 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 16 = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot 16$ .

$x (3 x + 16) = 0$

Paso 2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 16 = 0$

Paso 2.7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.8

Establece $3 x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.8.1

Establece $3 x + 16$ igual a $0$ .

$3 x + 16 = 0$

Paso 2.8.2

Resuelve $3 x + 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.8.2.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 16$

Paso 2.8.2.2

Divide cada término en $3 x = - 16$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.8.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 16$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Paso 2.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Paso 2.8.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{3}$

Paso 2.8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{16}{3}$

Paso 2.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (3 x + 16) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{16}{3}$

Paso 2.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{16}{3}$

$- \frac{16}{3} < x < 0$

$x > 0$

Paso 2.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{16}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{16}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 2.11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$5 (- 8) < 3 (- 8) ((- 8) + 7)$

Paso 2.11.1.3

$- 40$ del lado izquierdo es menor que $24$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.11.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{16}{3} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{16}{3} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 2.11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$5 (- 3) < 3 (- 3) ((- 3) + 7)$

Paso 2.11.2.3

$- 15$ del lado izquierdo no es menor que $- 36$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 2.11.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$5 (2) < 3 (2) ((2) + 7)$

Paso 2.11.3.3

$10$ del lado izquierdo es menor que $54$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{16}{3}$ Verdadero

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - \frac{16}{3}$ Verdadero

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 2.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{16}{3}$ o $x > 0$

Paso 3

Obtén la intersección de $0 < x < 4$ y $x < - \frac{16}{3} or x > 0$ .

$0 < x < 4$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < 4$

Notación de intervalo:

$(0, 4)$

Paso 5