Álgebra Ejemplos

$\frac{a + 15}{9 - a^{2}} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{a + 15}{3^{2} - a^{2}} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = a$ .

$\frac{a + 15}{(3 + a) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 2

Reordena los términos.

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{a + 5}{a + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - a}{3 - a}$ .

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} \cdot \frac{3 - a}{3 - a} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{a + 5}{a + 3}$ por $\frac{3 - a}{3 - a}$ .

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{(a + 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a + 15 - (a + 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a + 15 + (- a - 1 \cdot 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{a + 15 + (- a - 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.3

Expande $(- a - 5) (3 - a)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a + 15 - a (3 - a) - 5 (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a + 15 - a \cdot 3 - a (- a) - 5 (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a + 15 - a \cdot 3 - a (- a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - a (- a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 a \cdot a - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4.1.3

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.1.3.1

Mueve $a$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4.1.3.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + 1 a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4.1.5

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4.1.6

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 15 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 15 + 5 a}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.4.2

Suma $- 3 a$ y $5 a$ .

$\frac{a + 15 + 2 a + a^{2} - 15}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.5

Suma $a$ y $2 a$ .

$\frac{3 a + 15 + a^{2} - 15}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.6

Resta $15$ de $15$ .

$\frac{3 a + a^{2} + 0}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.7

Suma $3 a + a^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 a + a^{2}}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.8

Factoriza $a$ de $3 a + a^{2}$ .

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Paso 5.1.8.1

Factoriza $a$ de $3 a$ .

$\frac{a \cdot 3 + a^{2}}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.8.2

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot 3 + a \cdot a}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.1.8.3

Factoriza $a$ de $a \cdot 3 + a \cdot a$ .

$\frac{a (3 + a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $3 + a$ y $a + 3$ .

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Paso 5.2.1

Reordena los términos.

$\frac{a (a + 3)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{a (a + 3)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a}{3 - a} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a + a - 5}{- a + 3}$

Paso 6.2

Suma $a$ y $a$ .

$\frac{2 a - 5}{- a + 3}$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{2 a - 5}{- (a) + 3}$

Paso 6.4

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 a - 5}{- (a) - 1 (- 3)}$

Paso 6.5

Factoriza $- 1$ de $- (a) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 a - 5}{- (a - 3)}$

Paso 6.6

Reescribe los negativos.

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Paso 6.6.1

Reescribe $- (a - 3)$ como $- 1 (a - 3)$ .

$\frac{2 a - 5}{- 1 (a - 3)}$

Paso 6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 a - 5}{a - 3}$