Álgebra Ejemplos

$- 3^{- x} - 6 = - 3^{x} + 10$

Paso 1

Suma $3^{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3^{- x} - 6 + 3^{x} = 10$

Paso 2

Reescribe $3^{- x}$ como exponenciación.

$- {(3^{x})}^{- 1} - 6 + 3^{x} = 10$

Paso 3

Sustituye $u$ por $3^{x}$ .

$- u^{- 1} - 6 + u = 10$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{u} - 6 + u = 10$

Paso 5

Mueve $- 6$ .

$- \frac{1}{u} + u - 6 = 10$

Paso 6

Reordena $- \frac{1}{u}$ y $u$ .

$u - \frac{1}{u} - 6 = 10$

Paso 7

Resuelve $u$

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Paso 7.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 7.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1, 1$

Paso 7.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 7.2

Multiplica cada término en $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.2.1

Multiplica cada término en $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 7.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{u}$ al numerador.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

Paso 7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

Paso 7.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u^{2} - 1 - 6 u = 10 u$

Paso 7.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 7.3.1

Mueve todos los términos que contengan $u$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.3.1.1

Resta $10 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 1 - 6 u - 10 u = 0$

Paso 7.3.1.2

Resta $10 u$ de $- 6 u$ .

$u^{2} - 1 - 16 u = 0$

Paso 7.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 16$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.4

Simplifica.

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Paso 7.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.4.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 7.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.4.1.3

Suma $256$ y $4$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.4.1.4

Reescribe $260$ como $2^{2} \cdot 65$ .

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Paso 7.3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $260$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

Paso 7.3.4.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ .

$u = 8 \pm \sqrt{65}$

Paso 7.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 8 + \sqrt{65}, 8 - \sqrt{65}$

Paso 8

Sustituye $8 + \sqrt{65}$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$8 + \sqrt{65} = 3^{x}$

Paso 9

Resuelve $8 + \sqrt{65} = 3^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 8 + \sqrt{65}$ .

$3^{x} = 8 + \sqrt{65}$

Paso 9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (8 + \sqrt{65})$

Paso 9.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$

Paso 9.4

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 9.4.1

Divide cada término en $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Paso 9.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 9.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Paso 9.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Paso 10

Sustituye $8 - \sqrt{65}$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$8 - \sqrt{65} = 3^{x}$

Paso 11

Resuelve $8 - \sqrt{65} = 3^{x}$ .

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Paso 11.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$ .

$3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

Paso 11.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (8 - \sqrt{65})$

Paso 11.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (8 - \sqrt{65})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 11.4

No hay soluciones para $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

No hay solución

Paso 12

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 2.52725398 \dots$