Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 10 x + 16}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 10 x + 16$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $16$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 8, - 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Paso 2.1.2

Factoriza $6 x^{2}$ de $66 x^{3}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x) + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Paso 2.1.3

Factoriza $6 x^{2}$ de $108 x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x) + 6 x^{2} (18)}{6 x^{2} - 24}$

Paso 2.1.4

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2} + 11 x) + 6 x^{2} (18)}{6 x^{2} - 24}$

Paso 2.1.5

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (x^{2} + 11 x) + 6 x^{2} (18)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2} + 11 x + 18)}{6 x^{2} - 24}$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} + 11 x + 18$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $11$ .

$2, 9$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} ((x + 2) (x + 9))}{6 x^{2} - 24}$

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 x^{2} - 24}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} - 24$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2}) - 24}$

Paso 3.1.2

Factoriza $6$ de $- 24$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 x^{2} + 6 \cdot - 4}$

Paso 3.1.3

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 \cdot - 4$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2} - 4)}$

Paso 3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2} - 2^{2})}$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2) (x - 2)}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 8) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2) (x - 2)}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x - 2$ de $6 (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{(x - 2) (6 (x + 2))}$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{(x - 2) (6 (x + 2))}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 8}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x - 8}{x - 8}$ por $\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$ .

$\frac{(x - 8) (6 x^{2} (x + 2) (x + 9))}{(x - 8) (6 (x + 2))}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $x - 8$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 8) (6 x^{2} (x + 2) (x + 9))}{(x - 8) (6 (x + 2))}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} (x + 2)) (x + 9)}{x + 2}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x + 2) (x + 9)}{x + 2}$

Paso 4.5.2

Divide $(x^{2}) (x + 9)$ por $1$ .

$(x^{2}) (x + 9)$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 9$

Paso 5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 9$

Paso 5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 9$

Paso 5.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 9$

Paso 6

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{3} + 9 x^{2}$