Álgebra Ejemplos

$\frac{6 x^{4} - 216 x^{2}}{x^{2} - 5 x - 6} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x^{2} + 45 x + 162}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{4} - 216 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{2}) - 216 x^{2}}{x^{2} - 5 x - 6} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x^{2} + 45 x + 162}$

Paso 1.1.2

Factoriza $6 x^{2}$ de $- 216 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (- 36)}{x^{2} - 5 x - 6} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x^{2} + 45 x + 162}$

Paso 1.1.3

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (- 36)$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{2} - 36)}{x^{2} - 5 x - 6} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x^{2} + 45 x + 162}$

Paso 1.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (x^{2} - 6^{2})}{x^{2} - 5 x - 6} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x^{2} + 45 x + 162}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 5 x - 6} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x^{2} + 45 x + 162}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 5 x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 6, 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 9}{3 x^{2} + 45 x + 162}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 10 x + 9$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $9$ y cuya suma es $10$ .

$1, 9$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 9)}{3 x^{2} + 45 x + 162}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 45 x + 162$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 9)}{3 (x^{2}) + 45 x + 162}$

Paso 4.1.2

Factoriza $3$ de $45 x$ .

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 9)}{3 (x^{2}) + 3 (15 x) + 162}$

Paso 4.1.3

Factoriza $3$ de $162$ .

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 9)}{3 x^{2} + 3 (15 x) + 3 \cdot 54}$

Paso 4.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (15 x)$ .

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 9)}{3 (x^{2} + 15 x) + 3 \cdot 54}$

Paso 4.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 15 x) + 3 \cdot 54$ .

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 9)}{3 (x^{2} + 15 x + 54)}$

Paso 4.2

Factoriza $x^{2} + 15 x + 54$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $54$ y cuya suma es $15$ .

$6, 9$

Paso 4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 9)}{3 ((x + 6) (x + 9))}$

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 9)}{3 (x + 6) (x + 9)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{6 x^{2} (x + 6) (x - 6) ((x + 1) (x + 9))}{(x - 6) (x + 1) (3 (x + 6) (x + 9))}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3$ de $6 x^{2} (x + 6) (x - 6) ((x + 1) (x + 9))$ .

$\frac{3 (2 x^{2} (x + 6) (x - 6) ((x + 1) (x + 9)))}{(x - 6) (x + 1) (3 (x + 6) (x + 9))}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $3$ de $(x - 6) (x + 1) (3 (x + 6) (x + 9))$ .

$\frac{3 (2 x^{2} (x + 6) (x - 6) ((x + 1) (x + 9)))}{3 ((x - 6) (x + 1) ((x + 6) (x + 9)))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 x^{2} (x + 6) (x - 6) ((x + 1) (x + 9)))}{3 ((x - 6) (x + 1) ((x + 6) (x + 9)))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{2} (x + 6) (x - 6) ((x + 1) (x + 9))}{(x - 6) (x + 1) ((x + 6) (x + 9))}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} (x + 6) (x - 6) ((x + 1) (x + 9))}{(x - 6) (x + 1) ((x + 6) (x + 9))}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x^{2} (x - 6)) ((x + 1) (x + 9))}{(x - 6) (x + 1) (x + 9)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x - 6$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} (x - 6) ((x + 1) (x + 9))}{(x - 6) (x + 1) (x + 9)}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x^{2}) ((x + 1) (x + 9))}{(x + 1) (x + 9)}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} ((x + 1) (x + 9))}{(x + 1) (x + 9)}$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x^{2}) (x + 9)}{x + 9}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $x + 9$ .

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Paso 5.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} (x + 9)}{x + 9}$

Paso 5.6.2

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2}$