Álgebra Ejemplos

$\frac{r + 3 s}{s + r} - \frac{3 s^{2}}{s^{2} - r^{2}} + \frac{r}{s - r}$

Paso 1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = s$ y $b = r$ .

$\frac{r + 3 s}{s + r} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 2

Para escribir $\frac{r + 3 s}{s + r}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{s - r}{s - r}$ .

$\frac{r + 3 s}{s + r} \cdot \frac{s - r}{s - r} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{r + 3 s}{s + r}$ por $\frac{s - r}{s - r}$ .

$\frac{(r + 3 s) (s - r)}{(s + r) (s - r)} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(r + 3 s) (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(r + 3 s) (s - r)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r (s - r) + 3 s (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r s + r (- r) + 3 s (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r s + r (- r) + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{r s - r \cdot r + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.1

Mueve $r$ .

$\frac{r s - (r \cdot r) + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.3.1

Mueve $s$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 (s \cdot s) + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} + 3 \cdot - 1 s r - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} - 3 s r - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2.2

Resta $3 s r$ de $r s$ .

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Paso 4.2.2.1

Mueve $s$ .

$\frac{- r^{2} + 3 s^{2} + r s - 3 r s - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.2.2.2

Resta $3 r s$ de $r s$ .

$\frac{- r^{2} + 3 s^{2} - 2 r s - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.3

Resta $3 s^{2}$ de $3 s^{2}$ .

$\frac{- r^{2} - 2 r s + 0}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.4

Suma $- r^{2} - 2 r s$ y $0$ .

$\frac{- r^{2} - 2 r s}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.5

Factoriza $r$ de $- r^{2} - 2 r s$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $r$ de $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) - 2 r s}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.5.2

Factoriza $r$ de $- 2 r s$ .

$\frac{r (- r) + r (- 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 4.5.3

Factoriza $r$ de $r (- r) + r (- 2 s)$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Paso 5

Para escribir $\frac{r}{s - r}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{s + r}{s + r}$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r} \cdot \frac{s + r}{s + r}$

Paso 6

Escribe cada expresión con un denominador común de $(s + r) (s - r)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{r}{s - r}$ por $\frac{s + r}{s + r}$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r (s + r)}{(s - r) (s + r)}$

Paso 6.2

Reordena los factores de $(s - r) (s + r)$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r (s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{r (- r - 2 s) + r (s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Factoriza $r$ de $r (- r - 2 s) + r (s + r)$ .

$\frac{r (- r - 2 s + s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Paso 8.2

Suma $- r$ y $r$ .

$\frac{r (- 2 s + s + 0)}{(s + r) (s - r)}$

Paso 8.3

Suma $- 2 s + s$ y $0$ .

$\frac{r (- 2 s + s)}{(s + r) (s - r)}$

Paso 8.4

Suma $- 2 s$ y $s$ .

$\frac{r \cdot - 1 s}{(s + r) (s - r)}$

Paso 8.5

Factoriza el negativo.

$\frac{- r s}{(s + r) (s - r)}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{r s}{(s + r) (s - r)}$