Álgebra Ejemplos

$100^{\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}} \leq {0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la desigualdad.

$\ln (100^{\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}}) \leq \ln ({0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}})$

Paso 2

Expande $\ln (100^{\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}})$ ; para ello, mueve $\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}$ fuera del logaritmo.

$\frac{3 - 4 x}{2 x + 1} \ln (100) \leq \ln ({0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}})$

Paso 3

Combina $\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}$ y $\ln (100)$ .

$\frac{(3 - 4 x) \ln (100)}{2 x + 1} \leq \ln ({0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}})$

Paso 4

Expande $\ln ({0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}})$ ; para ello, mueve $\frac{5 x - 8}{2 x + 1}$ fuera del logaritmo.

$\frac{(3 - 4 x) \ln (100)}{2 x + 1} \leq \frac{5 x - 8}{2 x + 1} \ln (0.01)$

Paso 5

Combina $\frac{5 x - 8}{2 x + 1}$ y $\ln (0.01)$ .

$\frac{(3 - 4 x) \ln (100)}{2 x + 1} \leq \frac{(5 x - 8) \ln (0.01)}{2 x + 1}$

Paso 6

Resuelve la desigualdad en $x$ .

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Paso 6.1

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$(3 - 4 x) \ln (100) \leq (5 x - 8) \ln (0.01)$

Paso 6.2

Simplifica $(3 - 4 x) \ln (100)$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe.

$0 + 0 + (3 - 4 x) \ln (100) \leq (5 x - 8) \ln (0.01)$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(3 - 4 x) \ln (100) \leq (5 x - 8) \ln (0.01)$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \ln (100) - 4 x \ln (100) \leq (5 x - 8) \ln (0.01)$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \ln (100) - 4 x \ln (100) \leq 5 x \ln (0.01) - 8 \ln (0.01)$

Paso 6.4

Resta $5 x \ln (0.01)$ de ambos lados de la desigualdad.

$3 \ln (100) - 4 x \ln (100) - 5 x \ln (0.01) \leq - 8 \ln (0.01)$

Paso 6.5

Resta $3 \ln (100)$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 4 x \ln (100) - 5 x \ln (0.01) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$

Paso 6.6

Factoriza $x$ de $- 4 x \ln (100) - 5 x \ln (0.01)$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $x$ de $- 4 x \ln (100)$ .

$x (- 4 \ln (100)) - 5 x \ln (0.01) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$

Paso 6.6.2

Factoriza $x$ de $- 5 x \ln (0.01)$ .

$x (- 4 \ln (100)) + x (- 5 \ln (0.01)) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$

Paso 6.6.3

Factoriza $x$ de $x (- 4 \ln (100)) + x (- 5 \ln (0.01))$ .

$x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$

Paso 6.7

Divide cada término en $x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$ por $- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)$ y simplifica.

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Paso 6.7.1

Divide cada término en $x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$ por $- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)$ .

$\frac{x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} \leq \frac{- 8 \ln (0.01)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} + \frac{- 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.2.1

Cancela el factor común de $- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)$ .

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Paso 6.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} \leq \frac{- 8 \ln (0.01)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} + \frac{- 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 8 \ln (0.01)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} + \frac{- 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x \leq \frac{- 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 8 \ln (0.01)$ .

$x \leq \frac{- (8 \ln (0.01)) - 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 \ln (100)$ .

$x \leq \frac{- (8 \ln (0.01)) - (3 \ln (100))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (8 \ln (0.01)) - (3 \ln (100))$ .

$x \leq \frac{- (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.3.5

Reescribe $- (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))$ como $- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 4 \ln (100)$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- (4 \ln (100)) - 5 \ln (0.01)}$

Paso 6.7.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 5 \ln (0.01)$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- (4 \ln (100)) - (5 \ln (0.01))}$

Paso 6.7.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (4 \ln (100)) - (5 \ln (0.01))$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))}$

Paso 6.7.3.9

Reescribe $- (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))$ como $- 1 (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- 1 (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))}$

Paso 6.7.3.10

Cancela el factor común.

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- 1 (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))}$

Paso 6.7.3.11

Reescribe la expresión.

$x \leq \frac{8 \ln (0.01) + 3 \ln (100)}{4 \ln (100) + 5 \ln (0.01)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq \frac{8 \ln (0.01) + 3 \ln (100)}{4 \ln (100) + 5 \ln (0.01)}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{8 \ln (0.01) + 3 \ln (100)}{4 \ln (100) + 5 \ln (0.01)}]$

Paso 8