Álgebra Ejemplos

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Escribe en formato exponencial.

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Paso 2.1.1

Para ecuaciones logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ tal que $x > 0$ , $b > 0$ y $b \neq 1$ . En este caso, $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ y $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Paso 2.1.2

Sustituye los valores de $b$ , $x$ y $y$ en la ecuación $b^{y} = x$ .

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Paso 2.2.2

Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$| x - 1 | = | 3 |$

Paso 2.2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.2.3.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Paso 2.2.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Paso 2.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 1 = 3$

Paso 2.2.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3 + 1$

Paso 2.2.3.3.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$x = 4$

Paso 2.2.3.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 1 = - 3$

Paso 2.2.3.3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.3.3.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 3 + 1$

Paso 2.2.3.3.4.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$x = - 2$

Paso 2.2.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 2$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

${(x - 1)}^{2} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.2.1

Simplifica $\sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x - 1 | > | 0 |$

Paso 3.2.2.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$| x - 1 | > 0$

Paso 3.2.3

Escribe $| x - 1 | > 0$ como una función definida por partes.

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Paso 3.2.3.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x - 1 \geq 0$

Paso 3.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 1$

Paso 3.2.3.3

En la parte donde $x - 1$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x - 1 > 0$

Paso 3.2.3.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x - 1 < 0$

Paso 3.2.3.5

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < 1$

Paso 3.2.3.6

En la parte donde $x - 1$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (x - 1) > 0$

Paso 3.2.3.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

Paso 3.2.3.8

Simplifica $- (x - 1) > 0$ .

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Paso 3.2.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Paso 3.2.3.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Paso 3.2.4

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x > 1$

Paso 3.2.5

Resuelve $- x + 1 > 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x > - 1$

Paso 3.2.5.2

Divide cada término en $- x > - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.5.2.1

Divide cada término de $- x > - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x < 1$

Paso 3.2.6

Obtén la unión de las soluciones.

$x < 1$ o $x > 1$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

Paso 5.1.3

$2.92994704$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

Paso 5.2.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

Paso 5.3.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 5.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

Paso 5.4.3

$2.92994704$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $x > 4$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 2 or x > 4$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Paso 8