Álgebra Ejemplos

$x^{2} - a^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 a b - b^{2}$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Paso 2.2

Reescribe el polinomio.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

Paso 2.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 3.1.1

Reordena los términos.

${(x + y)}^{2} - a^{2} - b^{2} + 2 a b$

Paso 3.1.2

Reordena $- b^{2}$ y $2 a b$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $2 a b$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + 2 (a b) - b^{2}$

Paso 3.1.4

Reescribe $2$ como $1$ más $1$

${(x + y)}^{2} - a^{2} + (1 + 1) (a b) - b^{2}$

Paso 3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + y)}^{2} - a^{2} + 1 (a b) + 1 (a b) - b^{2}$

Paso 3.1.6

Multiplica $a b$ por $1$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + a b + 1 (a b) - b^{2}$

Paso 3.1.7

Multiplica $a b$ por $1$ .

${(x + y)}^{2} - a^{2} + a b + a b - b^{2}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

${(x + y)}^{2} + (- a^{2} + a b) + a b - b^{2}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

${(x + y)}^{2} + a (- a + b) - b (- a + b)$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- a + b$ .

${(x + y)}^{2} + (- a + b) (a - b)$

Paso 4

Reescribe $(a - b) (a - b)$ como ${(a - b)}^{2}$ .

${(x + y)}^{2} - {(a - b)}^{2}$

Paso 5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x + y$ y $b = a - b$ .

$(x + y + a - b) (x + y - (a - b))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + y + a - b) (x + y - a - - b)$

Paso 6.2

Multiplica $- - b$ .

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(x + y + a - b) (x + y - a + 1 b)$

Paso 6.2.2

Multiplica $b$ por $1$ .

$(x + y + a - b) (x + y - a + b)$