Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$f (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.1.2

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$f (x) = \frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x) = \frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = \frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = \frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$f (x) = \frac{(- x + 1) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = \frac{(- x + 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{(- x + 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{- x + 1}{x + 2}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x + 3$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{- x + 1}{x + 2}$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5.3

Sustituye $- 3$ por $x$ en $\frac{- x + 1}{x + 2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye $- 3$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{3 + 1}{- 3 + 2}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4}{- 3 + 2}$

Paso 5.3.2.2

Suma $- 3$ y $2$ .

$\frac{4}{- 1}$

Paso 5.3.2.3

Divide $4$ por $- 1$ .

$- 4$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(- 3, - 4)$

Paso 6