Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 7 x + 12}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{2 x^{2} - 18}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $7$ .

$3, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{2 x^{2} - 18}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{2 x^{2} - 18}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{2 x^{2} - 18}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 x^{2} - 18}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 18$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x^{2}) - 18}$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 x^{2} + 2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 9$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x^{2} - 9)}$

Paso 3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x^{2} - 3^{2})}$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x + 3$ de $2 (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 3) (2 (x - 3))}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 3) (2 (x - 3))}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x - 3)}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x - 3$ de ${(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{x + 4}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x - 3)}{2 (x - 3)}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + 4}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x - 3)}{2 (x - 3)}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$(x + 4) \cdot \frac{x - 3}{2 (x - 3)}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$(x + 4) \cdot \frac{x - 3}{2 (x - 3)}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$(x + 4) \cdot \frac{1}{2}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{1}{2} + 4 (\frac{1}{2})$

Paso 4.5

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} + 4 (\frac{1}{2})$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x}{2} + 2 (2) \frac{1}{2}$

Paso 4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Paso 4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} + 2$

Paso 5

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 2 \cdot 2}{2}$

Paso 8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x + 4}{2}$