Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} + x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = \frac{2 x^{2} + x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 x^{2} + x + 3 = 0$

Paso 1.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.2.2

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 1$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3.1.3

Resta $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4.1.3

Resta $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{23})}{4}$

Paso 1.2.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{23})}{4}$

Paso 1.2.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.5.1.3

Resta $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.5.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.2.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{23})}{4}$

Paso 1.2.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{23})}{4}$

Paso 1.2.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.2.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Paso 1.3

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

Intersección(es) con x: $Ninguna$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.4

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.5

Simplifica $\frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$ .

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Paso 2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.5.1.3

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.5.1.4

Suma $0$ y $3$ .

$y = \frac{3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{3}{2 \cdot 0 + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.5.2.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 3 (0) + 1}$

Paso 2.2.5.2.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 0 + 1}$

Paso 2.2.5.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 1}$

Paso 2.2.5.2.5

Suma $0$ y $1$ .

$y = \frac{3}{1}$

Paso 2.2.5.3

Divide $3$ por $1$ .

$y = 3$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 3)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $Ninguna$

Intersección(es) con y: $(0, 3)$

Paso 4