Álgebra Ejemplos

$\sqrt{4 x + 97} > 2 x - 1$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{4 x + 97}}^{2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x + 97}$ como ${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 x + 97)}^{1} > {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$4 x + 97 > {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(2 x - 1)}^{2}$ como $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$4 x + 97 > (2 x - 1) (2 x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(2 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 97 > 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 97 > 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 97 > 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 4 x + 1$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$4 x^{2} - 4 x + 1 < 4 x + 97$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.2.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 x < 97$

Paso 3.2.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$4 x^{2} - 8 x + 1 < 97$

Paso 3.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 x^{2} - 8 x + 1 = 97$

Paso 3.4

Resta $97$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 8 x + 1 - 97 = 0$

Paso 3.5

Resta $97$ de $1$ .

$4 x^{2} - 8 x - 96 = 0$

Paso 3.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.6.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 8 x - 96$ .

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Paso 3.6.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 8 x - 96 = 0$

Paso 3.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 8 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) - 96 = 0$

Paso 3.6.1.3

Factoriza $4$ de $- 96$ .

$4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Paso 3.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 2 x)$ .

$4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Paso 3.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 24$ .

$4 (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Paso 3.6.2

Factoriza.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 24$ con el método AC.

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Paso 3.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 6, 4$

Paso 3.6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Paso 3.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 6) (x + 4) = 0$

Paso 3.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 3.8

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.8.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.9

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.9.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.9.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 3.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 6) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 4$

Paso 4

Obtén el dominio de $\sqrt{4 x + 97} - 2 x + 1$ .

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Paso 4.1

Establece el radicando en $\sqrt{4 x + 97}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 x + 97 \geq 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Resta $97$ de ambos lados de la desigualdad.

$4 x \geq - 97$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $4 x \geq - 97$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $4 x \geq - 97$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 97}{4}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 97}{4}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 97}{4}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \geq - \frac{97}{4}$

Paso 4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- \frac{97}{4}, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{97}{4}$

$- \frac{97}{4} < x < - 4$

$- 4 < x < 6$

$x > 6$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{97}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{97}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 27$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 27$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4 (- 27) + 97} > 2 (- 27) - 1$

Paso 6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{97}{4} < x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{97}{4} < x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4 (- 6) + 97} > 2 (- 6) - 1$

Paso 6.2.3

$8.54400374$ del lado izquierdo es mayor que $- 13$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4 (0) + 97} > 2 (0) - 1$

Paso 6.3.3

$9.8488578$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4 (8) + 97} > 2 (8) - 1$

Paso 6.4.3

$11.35781669$ del lado izquierdo no es mayor que $15$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{97}{4}$ Falso

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < - \frac{97}{4}$ Falso

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ o $- 4 < x < 6$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{97}{4} < x < - 4 or - 4 < x < 6$

Notación de intervalo:

$(- \frac{97}{4}, - 4) \cup (- 4, 6)$

Paso 9