Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Paso 3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Paso 4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Paso 5.2

Reescribe el polinomio.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

Paso 5.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Reordena los términos.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Paso 6.2

Para escribir $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Paso 6.3

Para escribir $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Paso 6.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - x) {(x + y)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Paso 6.4.2

Eleva $x + y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Paso 6.4.3

Eleva $x + y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Paso 6.4.6

Multiplica $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ por $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Paso 6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Paso 6.6

Reescribe $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ en forma factorizada.

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Paso 6.6.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Paso 6.6.2

Suma $y + y$ y $0$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Paso 6.6.3

Suma $y$ y $y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Combinar.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Paso 7.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Paso 8

Factoriza $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ de $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

Paso 9

Combinar.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Paso 10

Cancela el factor común de $y - x$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

Paso 11

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

Paso 11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (y + x)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Paso 11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Paso 12

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 12.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Paso 12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

Paso 13

Cancela el factor común de ${(x + y)}^{2}$ y $y + x$ .

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Paso 13.1

Reordena los términos.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

Paso 13.2

Factoriza $x + y$ de ${(x + y)}^{2} (2 x)$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

Paso 13.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Paso 13.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

Paso 13.3.4

Divide $(x + y) (2 x)$ por $1$ .

$(x + y) (2 x)$

Paso 14

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + y (2 x)$

Paso 15

Reordena.

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Paso 15.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

Paso 15.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x \cdot x + 2 y x$

Paso 16

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

Paso 16.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 y x$