Álgebra Ejemplos

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Paso 2.2.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.2.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Paso 2.2.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ por $x^{2} + 2 x$ .

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.2.1.3.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.2.1.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.2.1.4

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.4.1

Factoriza $x + 2$ de $3 x (x + 2)$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.4.2.1

Factoriza $x + 2$ de ${(x + 2)}^{2}$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Paso 2.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Paso 2.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

Paso 3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ .

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x + 2, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$x + 2, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x + 2$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ por $x + 2$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ por $x + 2$ .

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 x = 12 (x + 2)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$3 x = 12 x + 24$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1

Resta $12 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x - 12 x = 24$

Paso 3.4.1.2

Resta $12 x$ de $3 x$ .

$- 9 x = 24$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- 9 x = 24$ por $- 9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- 9 x = 24$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{24}{- 9}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común de $24$ y $- 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Paso 3.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Paso 3.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{8}{- 3}$

Paso 3.4.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8}{3}$

Paso 4

Obtén el dominio de $\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{12}{x (x + 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (x + 2) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.2.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 4.3

Establece el denominador en $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 4.4

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{8}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{8}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

Paso 6.1.3

$0.8$ del lado izquierdo no es menor que $0.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{8}{3} < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{8}{3} < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2.33$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2.33$ en la desigualdad original.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

Paso 6.2.3

$15.60671088$ del lado izquierdo es menor que $27.54820936$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

Paso 6.3.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

Paso 6.4.3

$1.5$ del lado izquierdo no es menor que $0.1875$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{8}{3}$ Falso

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{8}{3}$ Falso

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ o $- 2 < x < 0$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

Notación de intervalo:

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

Paso 9