Álgebra Ejemplos

${(\frac{2}{3})}^{x - 5} = {(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{x - 5}) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{2}{3})}^{x - 5})$ ; para ello, mueve $x - 5$ fuera del logaritmo.

$(x - 5) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Paso 4

Expande $\ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$ ; para ello, mueve $\frac{3 x}{4}$ fuera del logaritmo.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x}{4} \ln (\frac{9}{4})$

Paso 5

Combina $\frac{3 x}{4}$ y $\ln (\frac{9}{4})$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x \ln (\frac{9}{4})}{4}$

Paso 6

Reescribe $\ln (\frac{9}{4})$ como $\ln (9) - \ln (4)$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - \ln (4))}{4}$

Paso 7

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - \ln (2^{2}))}{4}$

Paso 8

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - (2 \ln (2)))}{4}$

Paso 9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4}$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 10.1

Multiplica ambos lados por $4$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1.1

Simplifica $(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) \cdot 4$ .

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Paso 10.2.1.1.1

Expande $(x - 5) (\ln (2) - \ln (3))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x (\ln (2) - \ln (3)) - 5 (\ln (2) - \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \ln (2) + x (- \ln (3)) - 5 (\ln (2) - \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \ln (2) + x (- \ln (3)) - 5 \ln (2) - 5 (- \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 10.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x \ln (2) - x \ln (3) - 5 \ln (2) - 5 (- \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$(x \ln (2) - x \ln (3) - 5 \ln (2) + 5 \ln (3)) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2) \cdot 4 - x \ln (3) \cdot 4 - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.3

Simplifica.

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Paso 10.2.1.1.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x \ln (2)$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - x \ln (3) \cdot 4 - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.3.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 20 \ln (3) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.4

Elimina los paréntesis.

$4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 20 \ln (3) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1.1.5.1

Mueve $- 20 \ln (2)$ .

$4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.1.1.5.2

Reordena $4 x \ln (2)$ y $- 4 x \ln (3)$ .

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica $\frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Paso 10.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))$

Paso 10.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) + 3 x (- 2 \ln (2))$

Paso 10.2.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.2.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) + 3 \cdot - 2 x \ln (2)$

Paso 10.2.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) - 6 x \ln (2)$

Paso 10.3

Resuelve $x$

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Paso 10.3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 10.3.1.1

Resta $3 x \ln (9)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) = - 6 x \ln (2)$

Paso 10.3.1.2

Suma $6 x \ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 6 x \ln (2) = 0$

Paso 10.3.1.3

Suma $4 x \ln (2)$ y $6 x \ln (2)$ .

$- 4 x \ln (3) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = 0$

Paso 10.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.2.1

Resta $20 \ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3)$

Paso 10.3.2.2

Suma $20 \ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x \ln (3) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Paso 10.3.3

Factoriza $x$ de $- 4 x \ln (3) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2)$ .

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Paso 10.3.3.1

Factoriza $x$ de $- 4 x \ln (3)$ .

$x (- 4 \ln (3)) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Paso 10.3.3.2

Factoriza $x$ de $- 3 x \ln (9)$ .

$x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9)) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Paso 10.3.3.3

Factoriza $x$ de $10 x \ln (2)$ .

$x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Paso 10.3.3.4

Factoriza $x$ de $x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9))$ .

$x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Paso 10.3.3.5

Factoriza $x$ de $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2))$ .

$x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Paso 10.3.4

Divide cada término en $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ por $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 10.3.4.1

Divide cada término en $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ por $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ .

$\frac{x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} = \frac{- 20 \ln (3)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} + \frac{20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ .

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Paso 10.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 10.3.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 20 \ln (3)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} + \frac{20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 20 \ln (3) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.2

Factoriza $20$ de $- 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ .

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Paso 10.3.4.3.2.1

Factoriza $20$ de $- 20 \ln (3)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.2.2

Factoriza $20$ de $20 \ln (2)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.2.3

Factoriza $20$ de $20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3) + \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3) + \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (2)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3) - 1 (- \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.5

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3) - 1 (- \ln (2))$ .

$x = \frac{20 (- (\ln (3) - \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.6

Reescribe $- (\ln (3) - \ln (2))$ como $- 1 (\ln (3) - \ln (2))$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3)) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 3 \ln (9)$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3)) - (3 \ln (9)) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (4 \ln (3)) - (3 \ln (9))$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) + 10 \ln (2)}$

Paso 10.3.4.3.10

Factoriza $- 1$ de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) - (- 10 \ln (2))}$

Paso 10.3.4.3.11

Factoriza $- 1$ de $- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) - (- 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Paso 10.3.4.3.12

Reescribe $- (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))$ como $- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Paso 10.3.4.3.13

Cancela el factor común.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Paso 10.3.4.3.14

Reescribe la expresión.

$x = \frac{20 (\ln (3) - \ln (2))}{4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2)}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{20 (\ln (3) - \ln (2))}{4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 2$