Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} = 5$

Paso 1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$p, p + 1, 1, 1$

Paso 2.2

Como $p, p + 1, 1, 1$ contiene tanto números como variables, hay cuatro pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para las partes numérica, variable y variable compuesta. Luego, multiplícalos.

Los pasos para obtener el MCM para $p, p + 1, 1, 1$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 1, 1, 1$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $p^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $p + 1$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.6

El factor para $p^{1}$ es $p$ en sí mismo.

$p^{1} = p$

$p$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El MCM de $p^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$p$

Paso 2.8

El factor para $p + 1$ es $p + 1$ en sí mismo.

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $p + 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$p + 1$

Paso 2.10

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$p (p + 1)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ por $p (p + 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ por $p (p + 1)$ .

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $p$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 (p + 1) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 p + 2 \cdot 1 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $p + 1$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $p + 1$ de $p (p + 1)$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p \cdot p + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $p$ por $p$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $p$ por $1$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p) = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$2 p + 2 + 3 p - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Suma $2 p$ y $3 p$ .

$5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.2.2

Combina los términos opuestos en $5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Resta $5 p$ de $5 p$ .

$2 - 5 p^{2} + 0 = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.2.2.2.2

Suma $2 - 5 p^{2}$ y $0$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p (p + 1))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 - 5 p^{2} = 0 (p \cdot p + p \cdot 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $p$ por $p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p \cdot 1)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $p$ por $1$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p)$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $0$ por $p^{2} + p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 p^{2} = - 2$

Paso 4.2

Divide cada término en $- 5 p^{2} = - 2$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- 5 p^{2} = - 2$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $p^{2}$ por $1$ .

$p^{2} = \frac{- 2}{- 5}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$p^{2} = \frac{2}{5}$

Paso 4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$p = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Paso 4.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 4.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 4.4.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 4.4.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 4.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 4.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 4.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Paso 4.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$p = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Paso 4.4.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$p = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Forma decimal:

$p = 0.63245553 \dots, - 0.63245553 \dots$