Álgebra Ejemplos

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \div \frac{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}{2 p^{2} + 6 p + 18}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(p^{2} - 2^{2}) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = p$ y $b = 2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 3^{3}} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = p$ y $b = 3$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + p \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $p$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 \cdot p + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 3.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $p + 2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $p + 2$ de $(p + 2) (p - 2) (p + 3)$ .

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$ por $\frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 5

Factoriza $2$ de $2 p^{2} + 6 p + 18$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $2 p^{2}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $6 p$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 2 (3 p) + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 5.3

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 2 (3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 5.4

Factoriza $2$ de $2 p^{2} + 2 (3 p)$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 5.5

Factoriza $2$ de $2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p + 9))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Paso 6

Factoriza $p^{2} + p - 6$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) ((p - 2) (p + 3))}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $p - 2$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $p + 3$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $p^{2} + 3 p + 9$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{p - 3}$