Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{8} + \sqrt{6}}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{4 (2)} + \sqrt{6}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + \sqrt{6}}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(2 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Paso 3.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{4 {\sqrt{2}}^{2} - 2 \sqrt{12} + 2 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$

Paso 4

Expande $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{2} - \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Paso 5.1.1.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 2^{1} + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 + \sqrt{2} (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.4

Multiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{6})$ .

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Paso 5.1.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{4 - \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{4 - \sqrt{12} + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.5

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.1.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.8

Multiplica $\sqrt{6} (2 \sqrt{2})$ .

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Paso 5.1.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{12} + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.9

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.1.9.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.9.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 (2 \sqrt{3}) + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.12

Multiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

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Paso 5.1.12.1

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}{2}$

Paso 5.1.12.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}{2}$

Paso 5.1.12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{2}$

Paso 5.1.12.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - {\sqrt{6}}^{2}}{2}$

Paso 5.1.13

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 5.1.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 5.1.13.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 5.1.13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 6^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 5.1.13.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.13.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 6^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 5.1.13.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 6^{1}}{2}$

Paso 5.1.13.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 1 \cdot 6}{2}$

Paso 5.1.14

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 6}{2}$

Paso 5.2

Resta $6$ de $4$ .

$\frac{- 2 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.3

Suma $- 2 \sqrt{3}$ y $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Cancela el factor común de $- 2 + 2 \sqrt{3}$ y $2$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 6.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Paso 6.3

Factoriza $2$ de $2 (- 1) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 + \sqrt{3})}{2}$

Paso 6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 1 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{1}$

Paso 6.4.4

Divide $- 1 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$- 1 + \sqrt{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 1 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$0.73205080 \dots$