Álgebra Ejemplos

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} = e^{y}$

Paso 3

Reescribe $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$ .

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$

Paso 4.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x^{2} + 1} = e^{y} - x$

Paso 4.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Paso 4.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 1)}^{1} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Paso 4.4.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} + 1 = {(e^{y} - x)}^{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Simplifica ${(e^{y} - x)}^{2}$ .

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Paso 4.4.3.1.1

Reescribe ${(e^{y} - x)}^{2}$ como $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ .

$x^{2} + 1 = (e^{y} - x) (e^{y} - x)$

Paso 4.4.3.1.2

Expande $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 1 = e^{y} (e^{y} - x) - x (e^{y} - x)$

Paso 4.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x (e^{y} - x)$

Paso 4.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Paso 4.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.3.1.3.1.1

Multiplica $e^{y}$ por $e^{y}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.3.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + 1 = e^{y + y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Paso 4.4.3.1.3.1.1.2

Suma $y$ y $y$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Paso 4.4.3.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - x (- x)$

Paso 4.4.3.1.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Paso 4.4.3.1.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.3.1.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Paso 4.4.3.1.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Paso 4.4.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + 1 x^{2}$

Paso 4.4.3.1.3.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + x^{2}$

Paso 4.4.3.1.3.2

Resta $x e^{y}$ de $- e^{y} x$ .

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Paso 4.4.3.1.3.2.1

Mueve $e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - x e^{y} - x e^{y} + x^{2}$

Paso 4.4.3.1.3.2.2

Resta $x e^{y}$ de $- x e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2}$

Paso 4.5

Resuelve $x$

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Paso 4.5.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} = x^{2} + 1$

Paso 4.5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2} = 1$

Paso 4.5.2.2

Combina los términos opuestos en $e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2}$ .

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Paso 4.5.2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + 0 = 1$

Paso 4.5.2.2.2

Suma $e^{2 y} - 2 x e^{y}$ y $0$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} = 1$

Paso 4.5.3

Resta $e^{2 y}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$

Paso 4.5.4

Divide cada término en $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ por $- 2 e^{y}$ y simplifica.

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Paso 4.5.4.1

Divide cada término en $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ por $- 2 e^{y}$ .

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Paso 4.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 4.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Paso 4.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Paso 4.5.4.2.2

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 4.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Paso 4.5.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Paso 4.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Paso 4.5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{2 y}$ y $e^{y}$ .

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Paso 4.5.4.3.1.2.1

Factoriza $e^{y}$ de $- e^{2 y}$ .

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{- 2 e^{y}}$

Paso 4.5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.4.3.1.2.2.1

Factoriza $e^{y}$ de $- 2 e^{y}$ .

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Paso 4.5.4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Paso 4.5.4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{y}}{- 2}$

Paso 4.5.4.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y}}{2}$