Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ como una ecuación.

$y = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Paso 2

Simplifica $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ por $\frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})}$ .

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})} \cdot \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Paso 2.1.2

Combinar.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (\frac{1}{x} - 1)}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Paso 2.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $1 + \frac{1}{x - 1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}$ al numerador.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Paso 2.3.2.2

Factoriza $1 + \frac{1}{x - 1}$ de $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Paso 2.3.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Paso 2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $x - 1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Paso 2.4.2

Combinar.

$y = \frac{(x - 1) (1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1)}$

Paso 2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 1 + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x \cdot x - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x - 1 + 1}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.7.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x + 0}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.7.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.8

Multiplica $x^{2} - x$ por $\frac{x}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x^{2} - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.9.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 2.7.9.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.9.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.9.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x (x - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.9.2

Combina exponentes.

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Paso 2.7.9.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.9.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x^{1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.9.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1 + 1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.9.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.10

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.7.10.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.10.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + x^{2} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.11

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - 1 \cdot x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.12

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.13

Suma $- 1$ y $1$ .

$y = \frac{x + 0 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.14

Suma $x$ y $0$ .

$y = \frac{x - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.15

Factoriza $x$ de $x - x^{2}$ .

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Paso 2.7.15.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{1} - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.15.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.15.3

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.7.15.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.8

Simplifica el denominador.

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Paso 2.8.1

Factoriza $(x - 1) x$ de $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1$ .

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Paso 2.8.1.1

Factoriza $(x - 1) x$ de $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x \cdot - 1}$

Paso 2.8.1.2

Factoriza $(x - 1) x$ de $(x - 1) x \cdot - 1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)}$

Paso 2.8.1.3

Factoriza $(x - 1) x$ de $(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 - 1)}$

Paso 2.8.2

Multiplica $1 + \frac{1}{x - 1}$ por $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1} - 1)}$

Paso 2.8.3

Combina los términos opuestos en $1 + \frac{1}{x - 1} - 1$ .

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Paso 2.8.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (0 + \frac{1}{x - 1})}$

Paso 2.8.3.2

Suma $0$ y $\frac{1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x \frac{1}{x - 1}}$

Paso 2.8.4

Combina $\frac{1}{x - 1}$ y $x$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Paso 2.9

Cancela el factor común de $1 - x$ y $x - 1$ .

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Paso 2.9.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Paso 2.9.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Paso 2.9.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Paso 2.9.4

Reordena los términos.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Paso 2.9.5

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Paso 2.9.6

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x \cdot (- 1)}{\frac{x}{x - 1}}$

Paso 2.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = x (- 1) \frac{x - 1}{x}$

Paso 2.11

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.11.1

Cancela el factor común.

$y = x \cdot - 1 \frac{x - 1}{x}$

Paso 2.11.2

Reescribe la expresión.

$y = - (x - 1)$

Paso 2.12

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - x - - 1$

Paso 2.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - x + 1$