Álgebra Ejemplos

${(a + b)}^{3} - 8 b^{3}$

Paso 1

Reescribe $8 b^{3}$ como ${(2 b)}^{3}$ .

${(a + b)}^{3} - {(2 b)}^{3}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = a + b$ y $b = 2 b$ .

$(a + b - (2 b)) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(a + b - 2 b) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.2

Resta $2 b$ de $b$ .

$(a - b) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.3

Reescribe ${(a + b)}^{2}$ como $(a + b) (a + b)$ .

$(a - b) ((a + b) (a + b) + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.4

Expande $(a + b) (a + b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(a - b) (a (a + b) + b (a + b) + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(a - b) (a \cdot a + a b + b (a + b) + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(a - b) (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$(a - b) (a^{2} + a b + b a + b \cdot b + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$(a - b) (a^{2} + a b + b a + b^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.5.2

Suma $a b$ y $b a$ .

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Paso 3.5.2.1

Reordena $b$ y $a$ .

$(a - b) (a^{2} + a b + a b + b^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.5.2.2

Suma $a b$ y $a b$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a (2 b) + b (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + b (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 b \cdot b + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.9

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 3.9.1

Mueve $b$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 (b \cdot b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.9.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 b^{2} + {(2 b)}^{2})$

Paso 3.10

Aplica la regla del producto a $2 b$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 b^{2} + 2^{2} b^{2})$

Paso 3.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 b^{2} + 4 b^{2})$

Paso 3.12

Suma $2 a b$ y $2 a b$ .

$(a - b) (a^{2} + b^{2} + 4 a b + 2 b^{2} + 4 b^{2})$

Paso 3.13

Suma $b^{2}$ y $2 b^{2}$ .

$(a - b) (a^{2} + 3 b^{2} + 4 a b + 4 b^{2})$

Paso 3.14

Suma $3 b^{2}$ y $4 b^{2}$ .

$(a - b) (a^{2} + 7 b^{2} + 4 a b)$