Álgebra Ejemplos

$\frac{a^{2} + 6 a - 7}{2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 1

Factoriza $a^{2} + 6 a - 7$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $6$ .

$- 1, 7$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Factoriza $2 a$ de $2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2 a$ de $2 a^{3}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2}) + 4 a^{2} + 2 a} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 2.1.2

Factoriza $2 a$ de $4 a^{2}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2}) + 2 a (2 a) + 2 a} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 2.1.3

Factoriza $2 a$ de $2 a$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2}) + 2 a (2 a) + 2 a (1)} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 2.1.4

Factoriza $2 a$ de $2 a (a^{2}) + 2 a (2 a)$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2} + 2 a) + 2 a (1)} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 2.1.5

Factoriza $2 a$ de $2 a (a^{2} + 2 a) + 2 a (1)$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2} + 2 a + 1)} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2} + 2 a + 1^{2})} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a {(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a {(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1^{2}}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a {(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$

Paso 4

Combinar.

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{2} ((a + 1) (a - 1))}$

Paso 5

Multiplica ${(a + 1)}^{2}$ por $a + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $a + 1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a ((a + 1) {(a + 1)}^{2}) (a - 1)}$

Paso 5.2

Multiplica $a + 1$ por ${(a + 1)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Eleva $a + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a ({(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{2}) (a - 1)}$

Paso 5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{1 + 2} (a - 1)}$

Paso 5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{3} (a - 1)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $a - 1$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{3} (a - 1)}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{3}}$

Paso 7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{3}}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(a + 7) (a)}{a {(a + 1)}^{3}}$

Paso 8

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 7) a}{a {(a + 1)}^{3}}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 7}{{(a + 1)}^{3}}$