Álgebra Ejemplos

$| x + 3 | - 1 = {(x + 2)}^{2}$

Paso 1

Simplifica ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$| x + 3 | - 1 = 0 + 0 + {(x + 2)}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$| x + 3 | - 1 = (x + 2) (x + 2)$

Paso 1.3

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| x + 3 | - 1 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| x + 3 | - 1 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| x + 3 | - 1 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 1.4.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Paso 1.4.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 4 x + 4$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $| x + 3 |$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$| x + 3 | = x^{2} + 4 x + 4 + 1$

Paso 2.2

Suma $4$ y $1$ .

$| x + 3 | = x^{2} + 4 x + 5$

Paso 3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x + 3 = \pm (x^{2} + 4 x + 5)$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x + 3 = x^{2} + 4 x + 5$

Paso 4.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 4 x + 5 = x + 3$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x + 5 - x = 3$

Paso 4.3.2

Resta $x$ de $4 x$ .

$x^{2} + 3 x + 5 = 3$

Paso 4.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 3 x + 5 - 3 = 0$

Paso 4.5

Resta $3$ de $5$ .

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Paso 4.6

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 4.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 4.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x + 2) = 0$

Paso 4.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4.8

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4.9

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.9.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.9.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 2$

Paso 4.11

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x + 3 = - (x^{2} + 4 x + 5)$

Paso 4.12

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Paso 4.13

Simplifica $- (x^{2} + 4 x + 5)$ .

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Paso 4.13.1

Reescribe.

$0 + 0 - (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Paso 4.13.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Paso 4.13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 5 = x + 3$

Paso 4.13.4

Simplifica.

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Paso 4.13.4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 5 = x + 3$

Paso 4.13.4.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- x^{2} - 4 x - 5 = x + 3$

Paso 4.14

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.14.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - 4 x - 5 - x = 3$

Paso 4.14.2

Resta $x$ de $- 4 x$ .

$- x^{2} - 5 x - 5 = 3$

Paso 4.15

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.15.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - 5 x - 5 - 3 = 0$

Paso 4.15.2

Resta $3$ de $- 5$ .

$- x^{2} - 5 x - 8 = 0$

Paso 4.16

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.17

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 5$ y $c = - 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.18

Simplifica.

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Paso 4.18.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.18.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.18.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Paso 4.18.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.18.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.18.1.3

Resta $32$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.18.1.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.18.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.18.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.18.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{- 2}$

Paso 4.18.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.19

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.20

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = - 1, - 2, - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$