Álgebra Ejemplos

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4 x + 1 \geq 1$

Paso 1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$

Paso 2

Multiplica cada término en $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ por $4$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica cada término en $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ por $4$ .

$- \frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{4}$ al numerador.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Paso 2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 1 \cdot 4$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 4$

Paso 3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} + 16 x + 4 = 4$

Paso 4

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} + 16 x + 4 - 4 = 0$

Paso 5

Combina los términos opuestos en $- x^{2} + 16 x + 4 - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Resta $4$ de $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 0 = 0$

Paso 5.2

Suma $- x^{2} + 16 x$ y $0$ .

$- x^{2} + 16 x = 0$

Paso 6

Factoriza $- x$ de $- x^{2} + 16 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Factoriza $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 16 x = 0$

Paso 6.2

Factoriza $- x$ de $16 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 16 = 0$

Paso 6.3

Factoriza $- x$ de $- x (x) - x (- 16)$ .

$- x (x - 16) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 16 = 0$

Paso 8

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 9

Establece $x - 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Establece $x - 16$ igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

Paso 9.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 16$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x (x - 16) = 0$ verdadera.

$x = 0, 16$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 1 \geq 1$

Paso 12.1.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 16$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 16$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{4} \cdot {(2)}^{2} + 4 (2) + 1 \geq 1$

Paso 12.2.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 16$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 16$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 18$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $18$ en la desigualdad original.

$- \frac{1}{4} \cdot {(18)}^{2} + 4 (18) + 1 \geq 1$

Paso 12.3.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 16$ Verdadero

$x > 16$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 16$ Verdadero

$x > 16$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 16$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 \leq x \leq 16$

Notación de intervalo:

$[0, 16]$

Paso 15