Álgebra Ejemplos

$- \frac{128}{27}$ , $\frac{32}{9}$ , $- \frac{8}{3}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $- \frac{3}{4}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = - \frac{3}{4}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = - \frac{128}{27}$ y $r = - \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = - \frac{128}{27} {(- \frac{3}{4})}^{n - 1}$

Paso 4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = - \frac{128}{27} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n - 1})$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$a_{n} = - \frac{128}{27} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}})$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{n - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 5.2

Multiplica ${(- 1)}^{n - 1}$ por $- 1$ .

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Paso 5.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 5.3

Combina los términos opuestos en $n - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n + 0} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 5.3.2

Suma $n$ y $0$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 6

Combina ${(- 1)}^{n}$ y $\frac{128}{27}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 128}{27} \cdot \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 7

Combinar.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de ${(- 1)}^{n}$ .

$a_{n} = \frac{- {(- 1)}^{n - 1} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 8.2

Reescribe $- {(- 1)}^{n - 1}$ como $- 1 {(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{- 1 {(- 1)}^{n - 1} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 8.3

Reescribe $3^{n - 1} {(- 1)}^{n - 1}$ como ${(3 \cdot - 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{- 1 {(3 \cdot - 1)}^{n - 1} \cdot 128}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 8.4

Multiplica $128$ por $- 1$ .

$a_{n} = \frac{- 128 {(3 \cdot - 1)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$a_{n} = \frac{- 128 {(- 3)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a_{n} = - \frac{128 {(- 3)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 11

Sustituye el valor de $n$ para obtener el término número $n$ .

$a_{4} = - \frac{128 {(- 3)}^{(4) - 1}}{27 \cdot 4^{(4) - 1}}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Resta $1$ de $4$ .

$a_{4} = - \frac{128 {(- 3)}^{3}}{27 \cdot 4^{4 - 1}}$

Paso 12.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 4^{4 - 1}}$

Paso 13

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1

Resta $1$ de $4$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 4^{3}}$

Paso 13.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 64}$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Multiplica $128$ por $- 27$ .

$a_{4} = - \frac{- 3456}{27 \cdot 64}$

Paso 14.2

Multiplica $27$ por $64$ .

$a_{4} = - \frac{- 3456}{1728}$

Paso 14.3

Divide $- 3456$ por $1728$ .

$a_{4} = 2$

Paso 14.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$a_{4} = 2$