Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Paso 1

Obtén el denominador común

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2}{x} \cdot \frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{3}{x - 1}$ por $\frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{3}{x - 1}$ por $\frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{4}{x^{2} - x}$ por $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - (\frac{4}{x^{2} - x} \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)})$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{4}{x^{2} - x}$ por $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Paso 1.7

Reordena los factores de $x ((x - 1) (x^{2} - x))$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Paso 1.8

Reordena los factores de $(x - 1) (x (x^{2} - x))$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Paso 1.9

Reordena los factores de $(x^{2} - x) (x (x - 1))$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} - \frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Expande $(x - 1) (x^{2} - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x (x^{2} - x) - 1 (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x^{2} + x (- x) - 1 (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x^{2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.1.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{1 + 2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (x^{3} - x \cdot x - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x^{3} - (x \cdot x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.1.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.1.5

Multiplica $- 1 (- x)$ .

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Paso 2.2.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} + 1 x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.2.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2 x^{2} + x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x \cdot x^{2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.2.6.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{1} x^{2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{1 + 2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - x \cdot x) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.8.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - (x \cdot x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - x^{2}) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} + 3 (- x^{2}) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.11

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x \cdot x + x \cdot - 1)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.12

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} + x \cdot - 1)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.13

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} - 1 \cdot x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.14

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} - x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.15

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.2.16

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.1

Suma $2 x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 3 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.3.2

Resta $3 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.3.3

Resta $4 x^{2}$ de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{3} - 11 x^{2} + 2 x + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 2.3.4

Suma $2 x$ y $4 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $5 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $5 x^{3}$ .

$\frac{x (5 x^{2}) - 11 x^{2} + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 11 x^{2}$ .

$\frac{x (5 x^{2}) + x (- 11 x) + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$\frac{x (5 x^{2}) + x (- 11 x) + x \cdot 6}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.1.4

Factoriza $x$ de $x (5 x^{2}) + x (- 11 x)$ .

$\frac{x (5 x^{2} - 11 x) + x \cdot 6}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.1.5

Factoriza $x$ de $x (5 x^{2} - 11 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (5 x^{2} - 11 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$\frac{x (5 x^{2} - 11 (x) + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 11$ como $- 5$ más $- 6$

$\frac{x (5 x^{2} + (- 5 - 6) x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (5 x^{2} - 5 x - 6 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x ((5 x^{2} - 5 x) - 6 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (5 x (x - 1) - 6 (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x \cdot x - x)}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1)}$

Paso 4.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x (x - 1))}$

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) x (x - 1)}$

Paso 4.2

Combina exponentes.

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Paso 4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1} x (x - 1) (x - 1)}$

Paso 4.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1} x^{1} (x - 1) (x - 1)}$

Paso 4.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1 + 1} (x - 1) (x - 1)}$

Paso 4.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} (x - 1) (x - 1)}$

Paso 4.2.5

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} ({(x - 1)}^{1} (x - 1))}$

Paso 4.2.6

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1})}$

Paso 4.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} {(x - 1)}^{1 + 1}}$

Paso 4.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $x (x - 1) (5 x - 6)$ .

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{x {(x - 1)}^{2}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x - 1$ de $x {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x - 6}{x (x - 1)}$