Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1 = 0$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4^{x}}{3^{x}} - 1 = 0$

Paso 1.2.2.2

Combinar.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} - 1 = 0$

Paso 1.2.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} = 1$

Paso 1.2.4

Multiplica ambos lados por $2 \cdot 3^{x}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} (2 \cdot 3^{x}) = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.1.1

Simplifica $\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} (2 \cdot 3^{x})$ .

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Paso 1.2.5.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.5.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3^{x}$ .

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 (3^{x})} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.5.1.1.3

Cancela el factor común de $3^{x}$ .

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Paso 1.2.5.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.5.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 4^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Multiplica $2 \cdot 3^{x}$ por $1$ .

$3 \cdot 4^{x} = 2 \cdot 3^{x}$

Paso 1.2.6

Resuelve $x$

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Paso 1.2.6.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3 \cdot 4^{x}) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.6.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.1

Reescribe $\ln (3 \cdot 4^{x})$ como $\ln (3) + \ln (4^{x})$ .

$\ln (3) + \ln (4^{x}) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.6.2.2

Expande $\ln (4^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Paso 1.2.6.3

Expande el lado derecho.

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Paso 1.2.6.3.1

Reescribe $\ln (2 \cdot 3^{x})$ como $\ln (2) + \ln (3^{x})$ .

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2) + \ln (3^{x})$

Paso 1.2.6.3.2

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2) + x \ln (3)$

Paso 1.2.6.4

Reordena $\ln (3)$ y $x \ln (4)$ .

$x \ln (4) + \ln (3) = \ln (2) + x \ln (3)$

Paso 1.2.6.5

Reordena $\ln (2)$ y $x \ln (3)$ .

$x \ln (4) + \ln (3) = x \ln (3) + \ln (2)$

Paso 1.2.6.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (4) + \ln (3) - x \ln (3) - \ln (2) = 0$

Paso 1.2.6.7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (4) - x \ln (3) + \ln (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 1.2.6.8

Resta $\ln (\frac{3}{2})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (4) - x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{2})$

Paso 1.2.6.9

Factoriza $x$ de $x \ln (4) - x \ln (3)$ .

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Paso 1.2.6.9.1

Factoriza $x$ de $x \ln (4)$ .

$x (\ln (4)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{2})$

Paso 1.2.6.9.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (\ln (4)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Paso 1.2.6.9.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (4)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (\ln (4) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Paso 1.2.6.10

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Paso 1.2.6.11

Divide cada término en $x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$ por $\ln (4) - \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.11.1

Divide cada término en $x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$ por $\ln (4) - \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (4) - \ln (3))}{\ln (4) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Paso 1.2.6.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.11.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4) - \ln (3)$ .

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Paso 1.2.6.11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (4) - \ln (3))}{\ln (4) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Paso 1.2.6.11.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Paso 1.2.6.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$

Paso 2.2.2

Simplifica $\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$ .

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{4^{0}}{3^{0}} - 1$

Paso 2.2.2.1.2

Combinar.

$y = \frac{3 \cdot 4^{0}}{2 \cdot 3^{0}} - 1$

Paso 2.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ y $3^{0}$ .

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Paso 2.2.2.1.3.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 4^{0}$ .

$y = \frac{3 (4^{0})}{2 \cdot 3^{0}} - 1$

Paso 2.2.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $2 \cdot 3^{0}$ .

$y = \frac{3 (4^{0})}{3 (2 \cdot 3^{- 1})} - 1$

Paso 2.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 \cdot 4^{0}}{3 (2 \cdot 3^{- 1})} - 1$

Paso 2.2.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4^{0}}{2 \cdot 3^{- 1}} - 1$

Paso 2.2.2.1.4

Mueve $3^{- 1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$y = \frac{4^{0} \cdot 3}{2} - 1$

Paso 2.2.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.1.5.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$y = \frac{1 \cdot 3}{2} - 1$

Paso 2.2.2.1.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} - 1$

Paso 2.2.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.2.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{3 - 2}{2}$

Paso 2.2.2.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, \frac{1}{2})$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, \frac{1}{2})$

Paso 4