Álgebra Ejemplos

${(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{5} i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $i$ y $\frac{2}{5}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \cdot 2}{5})}^{2}$

Paso 1.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})}^{2}$ como $(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$

Paso 2

Expande $(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.1.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 i}{5}$ al numerador.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{- 2 i}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 i$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 (- i)}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 (- i)}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \sqrt{2} \frac{- i}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.5

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{- i}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} (- i)}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.6

Factoriza el negativo.

$\frac{1}{2} + \frac{- \sqrt{2} i}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 i}{5}$ al numerador.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{- 2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.8.2

Factoriza $2$ de $- 2 i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{2 (- i)}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{2 (- i)}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{- i}{5} \sqrt{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.9

Combina $\frac{- i}{5}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{- i \sqrt{2}}{5} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Paso 3.1.11

Multiplica $- \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$ .

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Paso 3.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + 1 \frac{2 i}{5} \frac{2 i}{5}$

Paso 3.1.11.2

Multiplica $\frac{2 i}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Paso 3.1.11.3

Multiplica $\frac{2 i}{5}$ por $\frac{2 i}{5}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{2 i (2 i)}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.11.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 i i}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.11.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 (i^{1} i)}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.11.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 (i^{1} i^{1})}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.11.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 i^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.11.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 i^{2}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.11.9

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 i^{2}}{25}$

Paso 3.1.12

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{25}$

Paso 3.1.13

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{- 4}{25}$

Paso 3.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} - \frac{4}{25}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25} - \frac{4}{25} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.3

Para escribir $- \frac{4}{25}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25} - \frac{4}{25} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $50$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25}{2 \cdot 25} - \frac{4}{25} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$\frac{25}{50} - \frac{4}{25} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{4}{25}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{50} - \frac{4 \cdot 2}{25 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.4.4

Multiplica $25$ por $2$ .

$\frac{25}{50} - \frac{4 \cdot 2}{50} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 - 4 \cdot 2}{50} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{25 - 8}{50} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.6.2

Resta $8$ de $25$ .

$\frac{17}{50} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{17}{50} + \frac{- \sqrt{2} i - i \sqrt{2}}{5}$

Paso 4.2

Reordena los factores de $- \sqrt{2} i$ .

$\frac{17}{50} + \frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2}}{5}$

Paso 4.3

Resta $i \sqrt{2}$ de $- i \sqrt{2}$ .

$\frac{17}{50} + \frac{- 2 i \sqrt{2}}{5}$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{17}{50} - \frac{2 i \sqrt{2}}{5}$