Álgebra Ejemplos

$f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ como una ecuación.

$y = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3 y^{- \frac{5}{2}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ .

$3 y^{- \frac{5}{2}} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ por $3$ .

$\frac{3 y^{- \frac{5}{2}}}{3} = \frac{x}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Mueve $y^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{\frac{5}{2}}, 3$

Paso 3.3.2

Como $y^{\frac{5}{2}}, 3$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 3$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{\frac{5}{2}}$ .

Paso 3.3.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.3.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.3.5

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 3.3.6

El MCM de $1, 3$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 3.3.7

El MCM de $y^{\frac{5}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.3.8

El MCM para $y^{\frac{5}{2}}, 3$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 y^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ por $3 y^{\frac{5}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ por $3 y^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} (3 y^{\frac{5}{2}}) = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Paso 3.4.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Paso 3.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$3 = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.4.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común.

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.4.3.2.2

Reescribe la expresión.

$3 = x y^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ .

$x y^{\frac{5}{2}} = 3$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ por $x$ .

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

Paso 3.5.2.2.2

Divide $y^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{5}{2}} = \frac{3}{x}$

Paso 3.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.4.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.4.1.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{x}$ .

$y = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ es la inversa de $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 x^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}))}^{\frac{2}{5}}}$

Paso 5.2.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}})}^{\frac{2}{5}}}$

Paso 5.2.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}}$

Paso 5.2.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 5.2.3.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

Paso 5.2.3.4.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

Paso 5.2.3.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 5.2.3.4.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.4.1.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 5.2.3.4.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

Paso 5.2.3.4.2

Simplifica.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $3^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

Paso 5.3.3

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{{(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.3.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.5.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.5.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.5.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.5.2

Simplifica.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.6.1

Multiplica los exponentes en ${(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.3.6.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.6.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

Paso 5.3.6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Paso 5.3.6.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.6.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Paso 5.3.6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.3.6.2

Evalúa el exponente.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ es la inversa de $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$