Álgebra Ejemplos

$\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$

Paso 1

Reemplaza $\sin^{2} (θ)$ con $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Paso 3

Establece $\cos (2 θ)$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 3.1

Establece $\cos (2 θ)$ igual a $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

Paso 3.2

Resuelve $\cos (2 θ) = 0$ en $θ$ .

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Paso 3.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$2 θ = \arccos (0)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{2}$

Paso 3.2.3

Divide cada término en $2 θ = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 3.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5

Resuelve $θ$

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Paso 3.2.5.1

Simplifica.

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Paso 3.2.5.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.2.5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.2.5.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 θ = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.2.5.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.2.5.2

Divide cada término en $2 θ = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.5.2.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 3.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 3.2.5.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 3.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.5.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.2.5.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.5.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 3.2.6

Obtén el período de $\cos (2 θ)$ .

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Paso 3.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.6.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 3.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 3.2.6.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.2.7

El período de la función $\cos (2 θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $1 - \cos^{2} (θ)$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 4.1

Establece $1 - \cos^{2} (θ)$ igual a $0$ .

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $1 - \cos^{2} (θ) = 0$ en $θ$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos^{2} (θ) = - 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $- \cos^{2} (θ) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $- \cos^{2} (θ) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.2.2.2

Divide $\cos^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) = 1$

Paso 4.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{1}$

Paso 4.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (θ) = \pm 1$

Paso 4.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (θ) = 1$

Paso 4.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (θ) = - 1$

Paso 4.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (θ) = 1, - 1$

Paso 4.2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\cos (θ) = 1$

$\cos (θ) = - 1$

Paso 4.2.7

Resuelve $θ$ en $\cos (θ) = 1$ .

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Paso 4.2.7.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (1)$

Paso 4.2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.7.2.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$θ = 0$

Paso 4.2.7.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - 0$

Paso 4.2.7.4

Resta $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Paso 4.2.7.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 4.2.7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.7.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.2.8

Resuelve $θ$ en $\cos (θ) = - 1$ .

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Paso 4.2.8.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- 1)$

Paso 4.2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.8.2.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$θ = π$

Paso 4.2.8.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - π$

Paso 4.2.8.4

Resta $π$ de $2 π$ .

$θ = π$

Paso 4.2.8.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 4.2.8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.8.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.2.9

Enumera todas las soluciones.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.2.10

Consolida las respuestas.

$θ = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$ verdadera.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Consolida $\frac{π}{4} + π n$ y $\frac{3 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$ sea verdadera.

No hay solución