Álgebra Ejemplos

$\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}} = x + 1$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}}}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x \sqrt{x^{2} + 24}}$ como ${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 + x \sqrt{x^{2} + 24})}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = {(x + 1)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = (x + 1) (x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + x + x + 1$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$1 + x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x \sqrt{x^{2} + 24}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 1 - 1$

Paso 3.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 2 x + 1 - 1$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x + 0$

Paso 3.2.2

Suma $x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$x \sqrt{x^{2} + 24} = x^{2} + 2 x$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(x \sqrt{x^{2} + 24})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 24}$ como ${(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $x {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} {(x^{2} + 24)}^{1} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica.

$x^{2} (x^{2} + 24) = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.5.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.5.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 24 = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Mueve $24$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = {(x^{2} + 2 x)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(x^{2} + 2 x)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(x^{2} + 2 x)}^{2}$ como $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = (x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} (x^{2} + 2 x) + 2 x (x^{2} + 2 x)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 x (x^{2} + 2 x)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{2 + 2} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + x^{2} (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.3.1.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.3.1.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 x (2 x)$

Paso 5.3.1.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.3.1.6.1

Mueve $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x)$

Paso 5.3.1.3.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2}$

Paso 5.3.1.3.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 4 x^{2}$

Paso 5.3.1.3.2

Suma $2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 24 x^{2} = x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} = x^{4} + 24 x^{2}$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} = 24 x^{2}$

Paso 6.2.2

Resta $24 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} - 24 x^{2} = 0$

Paso 6.2.3

Combina los términos opuestos en $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - x^{4} - 24 x^{2}$ .

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Paso 6.2.3.1

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 0 - 24 x^{2} = 0$

Paso 6.2.3.2

Suma $4 x^{3} + 4 x^{2}$ y $0$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 24 x^{2} = 0$

Paso 6.2.4

Resta $24 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Paso 6.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 20 x^{2}$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 20 x^{2} = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $- 20 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 5) = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 5)$ .

$4 x^{2} (x - 5) = 0$

Paso 6.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 6.5

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 6.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5$