Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} < \frac{x + 1}{4}$

Paso 1

Resta $\frac{x + 1}{4}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x}{3} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4}$ .

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Paso 2.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.1.1

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $\frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)}$ .

$\frac{x}{3} \cdot \frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $\frac{4 (x - 2)}{4 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - (\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{12}{12}) - \frac{x + 1}{4} < 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{x + 1}{4} < 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{x + 1}{4}$ por $\frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - (\frac{x + 1}{4} \cdot \frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}) < 0$

Paso 2.1.6

Multiplica $\frac{x + 1}{4}$ por $\frac{3 (x - 2)}{3 (x - 2)}$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 (4 (x - 2))} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Paso 2.1.7

Reordena los factores de $3 (4 (x - 2))$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{3 \cdot 4 (x - 2)} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Paso 2.1.8

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{(x - 2) \cdot 12} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Paso 2.1.9

Reordena los factores de $(x - 2) \cdot 12$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{4 (3 (x - 2))} < 0$

Paso 2.1.10

Reordena los factores de $4 (3 (x - 2))$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{3 \cdot 4 (x - 2)} < 0$

Paso 2.1.11

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{x (4 (x - 2))}{12 (x - 2)} - \frac{12}{12 (x - 2)} - \frac{(x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (4 (x - 2)) - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x (x - 2) - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - (x + 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1 \cdot 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 (x - 2))}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 x + 3 \cdot - 2)}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.8

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 + (- x - 1) (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.9

Expande $(- x - 1) (3 x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x - 6) - 1 (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x - 6)}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - x (3 x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.10.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.10.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.10.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.10.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.10.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} - x \cdot - 6 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.10.1.4

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.10.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 3 x - 1 \cdot - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.10.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 6 x - 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.3.10.2

Resta $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 12 - 3 x^{2} + 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.4

Resta $3 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 12 + 3 x + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.5

Suma $- 8 x$ y $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 12 + 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.6

Suma $- 12$ y $6$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 6}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 2.7

Factoriza $x^{2} - 5 x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 6, 1$

Paso 2.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 6$

$x = - 1$

$x = 2$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 6, - 1, 2$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 6) (x + 1)}{12 (x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$12 (x - 2) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $12 (x - 2) = 0$ por $12$ y simplifica.

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Paso 9.2.1.1

Divide cada término en $12 (x - 2) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 9.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 9.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 9.2.1.2.1.2

Divide $x - 2$ por $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{12}$

Paso 9.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$x - 2 = 0$

Paso 9.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{- 4}{3} - \frac{1}{(- 4) - 2} < \frac{(- 4) + 1}{4}$

Paso 11.1.3

$- 1.1\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $- 0.75$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{0}{3} - \frac{1}{(0) - 2} < \frac{(0) + 1}{4}$

Paso 11.2.3

$0.5$ del lado izquierdo no es menor que $0.25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{3} - \frac{1}{(4) - 2} < \frac{(4) + 1}{4}$

Paso 11.3.3

$0.8\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $1.25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{(8) - 2} < \frac{(8) + 1}{4}$

Paso 11.4.3

$2.5$ del lado izquierdo no es menor que $2.25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $2 < x < 6$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 1 or 2 < x < 6$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (2, 6)$

Paso 14