Álgebra Ejemplos

$y = \frac{3 x^{2} - 12}{8 x^{2} - 18 x + 4}$

Paso 1

Factoriza $3 x^{2} - 12$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 12$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$y = \frac{3 (x^{2}) - 12}{8 x^{2} - 18 x + 4}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$y = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot - 4}{8 x^{2} - 18 x + 4}$

Paso 1.1.3

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 \cdot - 4$ .

$y = \frac{3 (x^{2} - 4)}{8 x^{2} - 18 x + 4}$

Paso 1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{3 (x^{2} - 2^{2})}{8 x^{2} - 18 x + 4}$

Paso 1.3

Factoriza.

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Paso 1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$y = \frac{3 ((x + 2) (x - 2))}{8 x^{2} - 18 x + 4}$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{8 x^{2} - 18 x + 4}$

Paso 2

Factoriza $8 x^{2} - 18 x + 4$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $8 x^{2} - 18 x + 4$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x^{2}) - 18 x + 4}$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $- 18 x$ .

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x^{2}) + 2 (- 9 x) + 4}$

Paso 2.1.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x^{2}) + 2 (- 9 x) + 2 (2)}$

Paso 2.1.4

Factoriza $2$ de $2 (4 x^{2}) + 2 (- 9 x)$ .

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x^{2} - 9 x) + 2 (2)}$

Paso 2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (4 x^{2} - 9 x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x^{2} - 9 x + 2)}$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x^{2} - 9 x + 2)}$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe $- 9$ como $- 1$ más $- 8$

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x^{2} + (- 1 - 8) x + 2)}$

Paso 2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x^{2} - 1 x - 8 x + 2)}$

Paso 2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 ((4 x^{2} - 1 x) - 8 x + 2)}$

Paso 2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (x (4 x - 1) - 2 (4 x - 1))}$

Paso 2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 ((4 x - 1) (x - 2))}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x - 1) (x - 2)}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2 (4 x - 1) (x - 2)}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3 (x + 2)}{2 (4 x - 1)}$

Paso 4

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x - 2$

Paso 5

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $\frac{3 (x + 2)}{2 (4 x - 1)}$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5.3

Sustituye $2$ por $x$ en $\frac{3 (x + 2)}{2 (4 x - 1)}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Sustituye $2$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$\frac{3 (2 + 2)}{2 (4 \cdot 2 - 1)}$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 + 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $3 (2 + 2)$ .

$\frac{2 (3 (1 + 1))}{2 (4 \cdot 2 - 1)}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 (1 + 1))}{2 (4 \cdot 2 - 1)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (1 + 1)}{4 \cdot 2 - 1}$

Paso 5.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2 - 1}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.2.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{8 - 1}$

Paso 5.3.2.3.2

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{3 \cdot 2}{7}$

Paso 5.3.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{7}$

Paso 5.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(2, \frac{6}{7})$

Paso 6