Álgebra Ejemplos

$- x^{5} + 52 x^{3} + 2 x^{2} - 147 x - 98$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$2 x^{2} - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Paso 2

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 98$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $- 98$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 49 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Paso 2.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ .

$2 (x^{2} - 49) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Paso 3

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$2 (x^{2} - 7^{2}) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$2 ((x + 7) (x - 7)) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 7) (x - 7) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Paso 5

Factoriza $x$ de $- x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $- x^{5}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + 52 x^{3} - 147 x$

Paso 5.2

Factoriza $x$ de $52 x^{3}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) - 147 x$

Paso 5.3

Factoriza $x$ de $- 147 x$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Paso 5.4

Factoriza $x$ de $x (- x^{4}) + x (52 x^{2})$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Paso 5.5

Factoriza $x$ de $x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2} - 147)$

Paso 6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- {(x^{2})}^{2} + 52 x^{2} - 147)$

Paso 7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 u - 147)$

Paso 8

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 147 = 147$ y cuya suma es $b = 52$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $52$ de $52 u$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 (u) - 147)$

Paso 8.1.2

Reescribe $52$ como $3$ más $49$

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + (3 + 49) u - 147)$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 3 u + 49 u - 147)$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u^{2} + 3 u) + 49 u - 147)$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (u (- u + 3) - 49 (- u + 3))$

Paso 8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 3$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u + 3) (u - 49))$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 49))$

Paso 10

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 7^{2}))$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Factoriza.

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Paso 11.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) ((x + 7) (x - 7)))$

Paso 11.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Paso 12

Factoriza $(x + 7) (x - 7)$ de $2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

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Paso 12.1

Factoriza $(x + 7) (x - 7)$ de $2 (x + 7) (x - 7)$ .

$(x + 7) (x - 7) (2) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Paso 12.2

Factoriza $(x + 7) (x - 7)$ de $x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

$(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$

Paso 12.3

Factoriza $(x + 7) (x - 7)$ de $(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2} + 3))$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2}) + x \cdot 3)$

Paso 14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + x \cdot 3)$

Paso 15

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + 3 \cdot x)$

Paso 16

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1

Mueve $x^{2}$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Paso 16.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 16.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x)$

Paso 16.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{2 + 1} + 3 \cdot x)$

Paso 16.3

Suma $2$ y $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 \cdot x)$

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 x)$

Paso 17

Reordena los términos.

$(x + 7) (x - 7) (- x^{3} + 3 x + 2)$

Paso 18

Factoriza.

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Paso 18.1

Reescribe $- x^{3} + 3 x + 2$ en forma factorizada.

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Paso 18.1.1

Factoriza $- x^{3} + 3 x + 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 18.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 18.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Paso 18.1.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 18.1.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot - 1 + 2$

Paso 18.1.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- - 1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Paso 18.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Paso 18.1.1.3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 - 3 + 2$

Paso 18.1.1.3.5

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 + 2$

Paso 18.1.1.3.6

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 18.1.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} + 3 x + 2}{x + 1}$

Paso 18.1.1.5

Divide $- x^{3} + 3 x + 2$ por $x + 1$ .

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Paso 18.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Paso 18.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Paso 18.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 18.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 18.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Paso 18.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Paso 18.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Paso 18.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 18.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 18.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Paso 18.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 18.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 18.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 18.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x + 2$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Paso 18.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Paso 18.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} + x + 2$

Paso 18.1.1.6

Escribe $- x^{3} + 3 x + 2$ como un conjunto de factores.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + x + 2))$

Paso 18.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 18.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 18.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 18.1.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + 1 x + 2))$

Paso 18.1.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + (- 1 + 2) x + 2))$

Paso 18.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} - 1 x + 2 x + 2))$

Paso 18.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 18.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x^{2} - 1 x) + 2 x + 2))$

Paso 18.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x (- x - 1) - 2 (- x - 1)))$

Paso 18.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x - 1) (x - 2)))$

Paso 18.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x - 1) (x - 2))$

Paso 18.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 7) (x - 7) (x + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Paso 19

Combina exponentes.

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Paso 19.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Paso 19.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) - 1 (- 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Paso 19.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x - 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Paso 19.4

Elimina los paréntesis.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 (- x - 1) (- x - 1) (x - 2)$

Paso 19.5

Eleva $- x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} (- x - 1)) (x - 2)$

Paso 19.6

Eleva $- x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} {(- x - 1)}^{1}) (x - 2)$

Paso 19.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

Paso 19.8

Suma $1$ y $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Paso 20

Factoriza.

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Paso 20.1

Factoriza el negativo.

$- ((x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2))$

Paso 20.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Paso 21

Factoriza $- 1$ de $- x - 1$ .

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Paso 21.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1)}^{2} (x - 2)$

Paso 21.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1 (1))}^{2} (x - 2)$

Paso 21.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x + 1))}^{2} (x - 2)$

Paso 22

Factoriza.

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Paso 22.1

Aplica la regla del producto a $- (x + 1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) ({(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) (x - 2)$

Paso 22.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + 7) (x - 7) {(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Paso 23

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 23.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Paso 23.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 23.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Paso 23.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(- 1)}^{2 + 1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Paso 23.3

Suma $2$ y $1$ .

${(- 1)}^{3} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$