Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} \geq \frac{2}{24}$

Paso 1

Resta $\frac{2}{24}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24}$ .

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Paso 2.1

Obtén el denominador común

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Paso 2.1.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $\frac{1}{x - 10}$ por $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} \cdot \frac{x \cdot 24}{x \cdot 24} - \frac{2}{24} \geq 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{1}{x - 10}$ por $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2}{24} \geq 0$

Paso 2.1.5

Multiplica $\frac{2}{24}$ por $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - (\frac{2}{24} \cdot \frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}) \geq 0$

Paso 2.1.6

Multiplica $\frac{2}{24}$ por $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Paso 2.1.7

Reordena los factores de $x ((x - 10) \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Paso 2.1.8

Reordena los factores de $(x - 10) (x \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Paso 2.1.9

Reordena los factores de $24 (x (x - 10))$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 10) \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 24 - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3.2

Mueve $24$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{24 \cdot x - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 10$ por $24$ .

$\frac{24 \cdot x - 240 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3.4

Mueve $24$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 \cdot x - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3.6

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3.7

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} - 10 \cdot x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.3.9

Multiplica $- 10$ por $- 2$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.4

Suma $24 x$ y $24 x$ .

$\frac{48 x - 240 - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.5

Suma $48 x$ y $20 x$ .

$\frac{68 x - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $68 x - 240 - 2 x^{2}$ y $24$ .

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Paso 2.6.1

Factoriza $2$ de $68 x$ .

$\frac{2 (34 x) - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.6.2

Factoriza $2$ de $- 240$ .

$\frac{2 (34 x) + 2 (- 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.6.3

Factoriza $2$ de $2 (34 x) + 2 (- 120)$ .

$\frac{2 (34 x - 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.6.4

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.6.5

Factoriza $2$ de $2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.6.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.6.1

Factoriza $2$ de $24 x (x - 10)$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Paso 2.6.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Paso 2.6.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{34 x - 120 - x^{2}}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.7.1

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 34 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.7.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 120 = 120$ y cuya suma es $b = 34$ .

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $34$ de $34 x$ .

$\frac{- x^{2} + 34 (x) - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.7.2.2

Reescribe $34$ como $4$ más $30$

$\frac{- x^{2} + (4 + 30) x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.7.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.7.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.7.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 4) - 30 (- x + 4)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.7.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.9

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.10

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.11

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$12 x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 30 = 0$

$x - 10 = 0$

Paso 4

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$x = 0$

Paso 5

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6

Suma $30$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 30$

Paso 7

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 30$

$x = 10$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 0, 4, 30, 10$

Paso 10

Obtén el dominio de $- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$12 x (x - 10) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Paso 10.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 10.2.3

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.2.3.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 10.2.3.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 10.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (x - 10) = 0$ verdadera.

$x = 0, 10$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 10$

$10 < x < 30$

$x > 30$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{- 2} + \frac{1}{(- 2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Paso 12.1.3

$- 0.58\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0.08\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Paso 12.2.3

$0.375$ del lado izquierdo es mayor que $0.08\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $4 < x < 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $4 < x < 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{7} + \frac{1}{(7) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Paso 12.3.3

$- 0.\overline{190476}$ del lado izquierdo es menor que $0.08\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $10 < x < 30$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $10 < x < 30$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{(12) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Paso 12.4.3

$0.58\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0.08\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 30$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 30$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 32$

Paso 12.5.2

Reemplaza $x$ con $32$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{32} + \frac{1}{(32) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Paso 12.5.3

$0.07670\overline{45}$ del lado izquierdo es menor que $0.08\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$4 < x < 10$ Falso

$10 < x < 30$ Verdadero

$x > 30$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$4 < x < 10$ Falso

$10 < x < 30$ Verdadero

$x > 30$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x \leq 4$ o $10 < x \leq 30$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x \leq 4 or 10 < x \leq 30$

Notación de intervalo:

$(0, 4] \cup (10, 30]$

Paso 15