Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (3 x + 5) \geq \log_{2} (x - 9)$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{2} (3 x + 5) = \log_{2} (x - 9)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$3 x + 5 = x - 9$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x + 5 - x = - 9$

Paso 2.2.1.2

Resta $x$ de $3 x$ .

$2 x + 5 = - 9$

Paso 2.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 9 - 5$

Paso 2.2.2.2

Resta $5$ de $- 9$ .

$2 x = - 14$

Paso 2.2.3

Divide cada término en $2 x = - 14$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Divide cada término en $2 x = - 14$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 14}{2}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 14}{2}$

Paso 2.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 14}{2}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.1

Divide $- 14$ por $2$ .

$x = - 7$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{2} (\frac{3 x + 5}{x - 9})$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{2} (\frac{3 x + 5}{x - 9})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{3 x + 5}{x - 9} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$3 x + 5 = 0$

$x - 9 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 5$

Paso 3.2.3

Divide cada término en $3 x = - 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Divide cada término en $3 x = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 3.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{3}$

Paso 3.2.4

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 3.2.5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{5}{3}$

$x = 9$

Paso 3.2.6

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{5}{3}, 9$

Paso 3.2.7

Obtén el dominio de $\frac{3 x + 5}{x - 9}$ .

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Paso 3.2.7.1

Establece el denominador en $\frac{3 x + 5}{x - 9}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 9 = 0$

Paso 3.2.7.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 3.2.7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Paso 3.2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < x < 9$

$x > 9$

Paso 3.2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{5}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{5}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 3.2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 4) + 5}{(- 4) - 9} > 0$

Paso 3.2.9.1.3

$0.\overline{538461}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{5}{3} < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{5}{3} < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (0) + 5}{(0) - 9} > 0$

Paso 3.2.9.2.3

$- 0.\overline{5}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 3.2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (12) + 5}{(12) - 9} > 0$

Paso 3.2.9.3.3

$13.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{5}{3}$ Verdadero

$- \frac{5}{3} < x < 9$ Falso

$x > 9$ Verdadero

$x < - \frac{5}{3}$ Verdadero

$- \frac{5}{3} < x < 9$ Falso

$x > 9$ Verdadero

Paso 3.2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{5}{3}$ o $x > 9$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{3 x + 5}{x - 9}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 9 = 0$

Paso 3.4

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (9, \infty)$

Paso 4

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > 9$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x > 9$

Notación de intervalo:

$(9, \infty)$

Paso 6