Álgebra Ejemplos

$f (x) = | x + 2 |$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece el argumento en el valor absoluto igual a $0$ para obtener los valores potenciales a los cuales dividir la solución.

$x + 2 = 0$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Resuelve la ecuación en $x$ .

$x = - 2$

Paso 3.2

Crea intervalos alrededor de las soluciones para obtener dónde $x + 2$ es positiva y negativa.

$(- \infty, - 2), (- 2, \infty)$

Paso 3.3

Sustituye un valor de cada intervalo en $x + 2$ para determinar si la expresión es positiva o negativa.

$\begin{array}{c} intervalo & Signo en el intervalo \\ (- \infty, - 2) & - \\ (- 2, \infty) & + \end{array}$

Paso 3.4

Integra el argumento del valor absoluto.

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Paso 3.4.1

Establece la integral con el argumento del valor absoluto.

$\int x + 2 d x$

Paso 3.4.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int 2 d x$

Paso 3.4.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x$

Paso 3.4.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C$

Paso 3.4.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

Paso 3.5

En los intervalos donde el argumento es negativo, multiplica la solución de la integral por $- 1$ .

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Paso 3.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C) & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C & x > - 2 \end{cases}$

Paso 3.7

Simplifica.

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Paso 3.8

Simplifica.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$

Paso 4

La función $F$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$F (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x & x \leq - 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} + 2 x & x > - 2 \end{cases} + C$