Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 1}{x^{2} - x - 20} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - x - 20$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 1.3

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - (\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}) + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 2.7

Reordena los factores de $(x - 5) (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 1) (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 1) + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.2.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.2.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 1 \cdot 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.5

Expande $(- x - 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x (x + 4) - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.6.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.6.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.6.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.7

Expande $(x + 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x (x - 5) + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.8

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Paso 3.2.8.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 5$ y $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.8.2

Suma $- 5 x$ y $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.8.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.9

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.9.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.2.9.2

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.1

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25$ .

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Paso 3.3.1.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 x + 1 + 0 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.3.1.2

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$\frac{2 x + 1 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.3.2

Resta $8 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 6 x + 1 - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.1

Resta $16$ de $1$ .

$\frac{- 6 x - 15 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.3.3.2

Resta $25$ de $- 15$ .

$\frac{- 6 x + x^{2} - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 3.3.3.3

Reordena $- 6 x$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 6 x - 40$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 40$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 10, 4$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 10}{(x + 1) (x - 5)}$