Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 1 = 0$

$3 x + 9 = 0$

Paso 2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 6

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 9$

Paso 7

Divide cada término en $3 x = - 9$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 x = - 9$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $- 9$ por $3$ .

$x = - 3$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1, - 1$

$x = - 3$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 1, - 3$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 1}{3 x + 9}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x + 9 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 9$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $3 x = - 9$ por $3$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 9$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Divide $- 9$ por $3$ .

$x = - 3$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{3 (- 6) + 9} \leq 0$

Paso 12.1.3

$- 3.\overline{8}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{3 (- 2) + 9} \leq 0$

Paso 12.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{3 (0) + 9} \leq 0$

Paso 12.3.3

$- 0.\overline{1}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{3 (4) + 9} \leq 0$

Paso 12.4.3

$0.\overline{714285}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 3$ o $- 1 \leq x \leq 1$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 3 or - 1 \leq x \leq 1$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup [- 1, 1]$

Paso 15