Álgebra Ejemplos

$f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ como una ecuación.

$y = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 4 + \frac{5}{e^{y - 3}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $4 + \frac{5}{e^{y - 3}} = x$ .

$4 + \frac{5}{e^{y - 3}} = x$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{5}{e^{y - 3}} = x - 4$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados por $e^{y - 3}$ .

$\frac{5}{e^{y - 3}} e^{y - 3} = (x - 4) e^{y - 3}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Cancela el factor común de $e^{y - 3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{e^{y - 3}} e^{y - 3} = (x - 4) e^{y - 3}$

Paso 3.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$5 = (x - 4) e^{y - 3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3} = 5$ .

$x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3} = 5$

Paso 3.5.2

Factoriza $e^{y - 3}$ de $x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3}$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $e^{y - 3}$ de $x e^{y - 3}$ .

$e^{y - 3} x - 4 e^{y - 3} = 5$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $e^{y - 3}$ de $- 4 e^{y - 3}$ .

$e^{y - 3} x + e^{y - 3} \cdot - 4 = 5$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $e^{y - 3}$ de $e^{y - 3} x + e^{y - 3} \cdot - 4$ .

$e^{y - 3} (x - 4) = 5$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $e^{y - 3} (x - 4) = 5$ por $x - 4$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $e^{y - 3} (x - 4) = 5$ por $x - 4$ .

$\frac{e^{y - 3} (x - 4)}{x - 4} = \frac{5}{x - 4}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y - 3} (x - 4)}{x - 4} = \frac{5}{x - 4}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $e^{y - 3}$ por $1$ .

$e^{y - 3} = \frac{5}{x - 4}$

Paso 3.5.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y - 3}) = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Paso 3.5.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.5.5.1

Expande $\ln (e^{y - 3})$ ; para ello, mueve $y - 3$ fuera del logaritmo.

$(y - 3) \ln (e) = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Paso 3.5.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y - 3) \cdot 1 = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Paso 3.5.5.3

Multiplica $y - 3$ por $1$ .

$y - 3 = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Paso 3.5.6

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$ es la inversa de $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{(4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) - 4}) + 3$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $\ln (\frac{5}{(4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) - 4}) + 3$ .

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Paso 5.2.3.1

Resta $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{0 + \frac{5}{e^{x - 3}}}) + 3$

Paso 5.2.3.2

Suma $0$ y $\frac{5}{e^{x - 3}}$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{\frac{5}{e^{x - 3}}}) + 3$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 3}}{5})) + 3$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 3}}{5})) + 3$

Paso 5.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (e^{x - 3}) + 3$

Paso 5.2.4.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 3$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = (x - 3) \ln (e) + 3$

Paso 5.2.4.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = (x - 3) \cdot 1 + 3$

Paso 5.2.4.5

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x - 3 + 3$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) - 3}}$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $4 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) - 3}}$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 4}) + 0}}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\ln (\frac{5}{x - 4})$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 4})}}$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{\frac{5}{x - 4}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + 5 (\frac{x - 4}{5})$

Paso 5.3.4.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.3.1

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + 5 (\frac{x - 4}{5})$

Paso 5.3.4.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + x - 4$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $4 + x - 4$ .

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Paso 5.3.5.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$ es la inversa de $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$