Álgebra Ejemplos

${(\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2}$ como $(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2}) (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$ .

$(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2}) (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 2

Expande $(\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2}) (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{4} (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} (\frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{25}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2}) - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 3.1.2

Multiplica $\frac{5}{4} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 (i \sqrt{2})}{4 \cdot 2} - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 (i \sqrt{2})}{8} - \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 3.1.3

Multiplica $- \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 (i \sqrt{2})}{4 \cdot 2} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 (i \sqrt{2})}{8} - \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 3.1.4

Multiplica $- \frac{i \sqrt{2}}{2} (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + 1 \frac{i \sqrt{2}}{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.8

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.9

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Paso 3.1.5.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 3.1.5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 3.1.5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 3.1.5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 3.1.5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2^{1}}{4}$

Paso 3.1.5.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 1 \cdot 2}{4}$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2}{4}$

Paso 3.1.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 3.1.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{2 (- 1)}{4}$

Paso 3.1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{25}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{1}{2}$

Paso 3.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{8}{2 \cdot 8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{25}{16} - \frac{8}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{25 - 8}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.5

Resta $8$ de $25$ .

$\frac{17}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8} - \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.6

Resta $\frac{5 i \sqrt{2}}{8}$ de $- \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$ .

$\frac{17}{16} - 2 \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{17}{16} + 2 (- 1) \frac{5 i \sqrt{2}}{8}$

Paso 4.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{17}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{5 i \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{17}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{5 i \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{17}{16} - 1 \frac{5 i \sqrt{2}}{4}$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 \frac{5 i \sqrt{2}}{4}$ como $- \frac{5 i \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{17}{16} - \frac{5 i \sqrt{2}}{4}$