Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{3} - x = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$x (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.3

Factoriza.

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Paso 2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 9

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 10

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 11.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 12

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0, - 1, 1$

$x = i, - i$

Paso 13

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 1, 1$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 4)}^{3} - (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1} > 0$

Paso 15.1.3

$- 3.52941176$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.5$

Paso 15.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 0.5)}^{3} - (- 0.5)}{{(- 0.5)}^{2} + 1} > 0$

Paso 15.2.3

$0.3$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 15.3.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0.5)}^{3} - (0.5)}{{(0.5)}^{2} + 1} > 0$

Paso 15.3.3

$- 0.3$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 15.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{3} - (4)}{{(4)}^{2} + 1} > 0$

Paso 15.4.3

$3.52941176$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < 0$ o $x > 1$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 1 < x < 0 or x > 1$

Notación de intervalo:

$(- 1, 0) \cup (1, \infty)$

Paso 18