Álgebra Ejemplos

$\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18} = \sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18}}^{2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 y^{2} + 15 y + 18}$ como ${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(9 y^{2} + 15 y + 18)}^{1} = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe ${\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}}^{2}$ como $5 y^{2} - 5 y - 7$ .

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Paso 2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 y^{2} - 5 y - 7}$ como ${(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {({(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = {(5 y^{2} - 5 y - 7)}^{1}$

Paso 2.3.1.5

Simplifica.

$9 y^{2} + 15 y + 18 = 5 y^{2} - 5 y - 7$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $5 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} + 15 y + 18 - 5 y^{2} = - 5 y - 7$

Paso 3.1.2

Suma $5 y$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} + 15 y + 18 - 5 y^{2} + 5 y = - 7$

Paso 3.1.3

Resta $5 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 15 y + 18 + 5 y = - 7$

Paso 3.1.4

Suma $15 y$ y $5 y$ .

$4 y^{2} + 20 y + 18 = - 7$

Paso 3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} + 20 y + 18 + 7 = 0$

Paso 3.3

Suma $18$ y $7$ .

$4 y^{2} + 20 y + 25 = 0$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.4.1

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

${(2 y)}^{2} + 20 y + 25 = 0$

Paso 3.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

${(2 y)}^{2} + 20 y + 5^{2} = 0$

Paso 3.4.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$20 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 5$

Paso 3.4.4

Reescribe el polinomio.

${(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Paso 3.4.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2 y$ y $b = 5$ .

${(2 y + 5)}^{2} = 0$

Paso 3.5

Establece $2 y + 5$ igual a $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = - 5$

Paso 3.6.2

Divide cada término en $2 y = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Divide cada término en $2 y = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 3.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 3.6.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Paso 3.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$y = - 2.5$

Forma de número mixto:

$y = - 2 \frac{1}{2}$