Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - x - 2}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{x}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x}{x - 2}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 2 - x (x + 1) + x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 5.3

Combina los términos opuestos en $x - 2 - x (x + 1) + x^{2} + 2$ .

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Paso 5.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{x - x (x + 1) + x^{2} + 0}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 5.3.2

Suma $x - x (x + 1) + x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x - x (x + 1) + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - x \cdot x - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x - (x \cdot x) - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x - x^{2} - x \cdot 1 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - x^{2} - x + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 7.1

Combina los términos opuestos en $x - x^{2} - x + x^{2}$ .

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Paso 7.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{- x^{2} + 0 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 7.1.2

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$\frac{- x^{2} + x^{2}}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 7.1.3

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 2)}$

Paso 7.2

Divide $0$ por $(x + 1) (x - 2)$ .

$0$