Álgebra Ejemplos

$1 = \frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y} = 1$ .

$\frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y} = 1$

Paso 2

Factoriza $y^{2} - 5 y - 24$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 8, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 y, 3 y, 1$

Paso 3.2

Como $3 y, 3 y, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $3, 3, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{1}, y^{1}$ .

Paso 3.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 3.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.6

El MCM de $3, 3, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 3.7

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.8

El MCM de $y^{1}, y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y$

Paso 3.9

El MCM para $3 y, 3 y, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 y$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$ por $3 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$ por $3 y$ .

$\frac{y - 6}{3 y} (3 y) - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{y - 6}{3 y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$3 \frac{y - 6}{3 (y)} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{y - 6}{3 y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 6}{y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 6}{y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y - 6 - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $3 y$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y}$ al numerador.

$y - 6 + \frac{- (y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$y - 6 + \frac{- (y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y - 6 - (y - 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 + (- y - - 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$y - 6 + (- y + 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.7

Expande $(- y + 8) (y + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 - y (y + 3) + 8 (y + 3) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 - y \cdot y - y \cdot 3 + 8 (y + 3) = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 - y \cdot y - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.8.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.8.1.1.1

Mueve $y$ .

$y - 6 - (y \cdot y) - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.8.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y - 6 - y^{2} - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.8.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y - 6 - y^{2} - 3 y + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.8.1.3

Multiplica $8$ por $3$ .

$y - 6 - y^{2} - 3 y + 8 y + 24 = 1 (3 y)$

Paso 4.2.1.8.2

Suma $- 3 y$ y $8 y$ .

$y - 6 - y^{2} + 5 y + 24 = 1 (3 y)$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.2.1

Suma $y$ y $5 y$ .

$6 y - 6 - y^{2} + 24 = 1 (3 y)$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 6$ y $24$ .

$6 y - y^{2} + 18 = 1 (3 y)$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Multiplica $3 y$ por $1$ .

$6 y - y^{2} + 18 = 3 y$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y - y^{2} + 18 - 3 y = 0$

Paso 5.1.2

Resta $3 y$ de $6 y$ .

$3 y - y^{2} + 18 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$3 u - u^{2} + 18 = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.2.1

Reordena los términos.

$- u^{2} + 3 u + 18 = 0$

Paso 5.2.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 18 = - 18$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$- u^{2} + 3 (u) + 18 = 0$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe $3$ como $- 3$ más $6$

$- u^{2} + (- 3 + 6) u + 18 = 0$

Paso 5.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- u^{2} - 3 u + 6 u + 18 = 0$

Paso 5.2.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- u^{2} - 3 u) + 6 u + 18 = 0$

Paso 5.2.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (- u - 3) - 6 (- u - 3) = 0$

Paso 5.2.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 3$ .

$(- u - 3) (u - 6) = 0$

Paso 5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$(- y - 3) (y - 6) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- y - 3 = 0$

$y - 6 = 0$

Paso 5.4

Establece $- y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.4.1

Establece $- y - 3$ igual a $0$ .

$- y - 3 = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $- y - 3 = 0$ en $y$ .

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Paso 5.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- y = 3$

Paso 5.4.2.2

Divide cada término en $- y = 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.2.1

Divide cada término en $- y = 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Paso 5.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{3}{- 1}$

Paso 5.4.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{- 1}$

Paso 5.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.2.3.1

Divide $3$ por $- 1$ .

$y = - 3$

Paso 5.5

Establece $y - 6$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.5.1

Establece $y - 6$ igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 6$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- y - 3) (y - 6) = 0$ verdadera.

$y = - 3, 6$