Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 6, 3$

Paso 1.2

Como $x, 6, 3$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 6, 3$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{1}$ .

Paso 1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.5

$6$ tiene factores de $2$ y $3$ .

$2 \cdot 3$

Paso 1.6

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 1.7

El MCM de $1, 6, 3$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 3$

Paso 1.8

Multiplica $2$ por $3$ .

$6$

Paso 1.9

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.10

El MCM de $x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x$

Paso 1.11

El MCM para $x, 6, 3$ es la parte numérica $6$ multiplicada por la parte variable.

$6 x$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$ por $6 x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$ por $6 x$ .

$\frac{1}{x} (6 x) - \frac{x}{6} (6 x) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 \frac{1}{x} x - \frac{x}{6} (6 x) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.2

Combina $6$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6}{x} x - \frac{x}{6} (6 x) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{x} x - \frac{x}{6} (6 x) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$6 - \frac{x}{6} (6 x) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{6}$ al numerador.

$6 + \frac{- x}{6} (6 x) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.4.2

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$6 + \frac{- x}{6} (6 (x)) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$6 + \frac{- x}{6} (6 x) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$6 - x \cdot x = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 - (x^{1} x) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 - (x^{1} x^{1}) = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 - x^{1 + 1} = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.2.1.8

Suma $1$ y $1$ .

$6 - x^{2} = \frac{2}{3} (6 x)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$6 - x^{2} = \frac{2}{3} (3 (2 x))$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común.

$6 - x^{2} = \frac{2}{3} (3 (2 x))$

Paso 2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$6 - x^{2} = 2 (2 x)$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 - x^{2} = 4 x$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 - x^{2} - 4 x = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 4$ y $c = 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 6)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 6$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.3

Suma $16$ y $24$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{- 2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{- 1}$

Paso 3.4.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{10}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{10})$

Paso 3.4.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{10})$ como $- (2 \pm \sqrt{10})$ .

$x = - (2 \pm \sqrt{10})$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 - \sqrt{10}, - 2 + \sqrt{10}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 2 - \sqrt{10}, - 2 + \sqrt{10}$

Forma decimal:

$x = - 5.16227766 \dots, 1.16227766 \dots$