Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} = x^{a}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ .

$x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (x^{a}) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Paso 3

Expande $\ln (x^{a})$ ; para ello, mueve $a$ fuera del logaritmo.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$ .

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Paso 4.1.1

Multiplica $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

Paso 4.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})$

Paso 4.1.2.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})$

Paso 4.1.2.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})$

Paso 4.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})$

Paso 4.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})$

Paso 4.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 4.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 4.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Paso 4.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Paso 4.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{1}})$

Paso 4.1.2.6.5

Simplifica.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Paso 4.1.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.4

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1 - \frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Paso 4.1.4.4

Resta $1$ de $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 5

Divide cada término en $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ por $\ln (x)$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ por $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Paso 5.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$