Álgebra Ejemplos

$125 a^{3} + 150 a^{2} b + 60 a b^{2} + 8 b^{3}$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$125 a^{3} + 8 b^{3} + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 2

Reescribe $125 a^{3}$ como ${(5 a)}^{3}$ .

${(5 a)}^{3} + 8 b^{3} + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 3

Reescribe $8 b^{3}$ como ${(2 b)}^{3}$ .

${(5 a)}^{3} + {(2 b)}^{3} + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 5 a$ y $b = 2 b$ .

$(5 a + 2 b) ({(5 a)}^{2} - (5 a) (2 b) + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $5 a$ .

$(5 a + 2 b) (5^{2} a^{2} - (5 a) (2 b) + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 5.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - (5 a) (2 b) + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 5.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 5 a (2 b) + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 5 \cdot 2 a b + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 5.5

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + {(2 b)}^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 5.6

Aplica la regla del producto a $2 b$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 2^{2} b^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 5.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 150 a^{2} b + 60 a b^{2}$

Paso 6

Factoriza $30 a b$ de $150 a^{2} b + 60 a b^{2}$ .

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Paso 6.1

Factoriza $30 a b$ de $150 a^{2} b$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 30 a b (5 a) + 60 a b^{2}$

Paso 6.2

Factoriza $30 a b$ de $60 a b^{2}$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 30 a b (5 a) + 30 a b (2 b)$

Paso 6.3

Factoriza $30 a b$ de $30 a b (5 a) + 30 a b (2 b)$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 30 a b (5 a + 2 b)$

Paso 7

Factoriza $5 a + 2 b$ de $(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + 30 a b (5 a + 2 b)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $5 a + 2 b$ de $30 a b (5 a + 2 b)$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + (5 a + 2 b) (30 a b)$

Paso 7.2

Factoriza $5 a + 2 b$ de $(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2}) + (5 a + 2 b) (30 a b)$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} - 10 a b + 4 b^{2} + 30 a b)$

Paso 8

Suma $- 10 a b$ y $30 a b$ .

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} + 4 b^{2} + 20 a b)$

Paso 9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 9.1

Reorganiza los términos.

$(5 a + 2 b) (25 a^{2} + 20 a b + 4 b^{2})$

Paso 9.2

Reescribe $25 a^{2}$ como ${(5 a)}^{2}$ .

$(5 a + 2 b) ({(5 a)}^{2} + 20 a b + 4 b^{2})$

Paso 9.3

Reescribe $4 b^{2}$ como ${(2 b)}^{2}$ .

$(5 a + 2 b) ({(5 a)}^{2} + 20 a b + {(2 b)}^{2})$

Paso 9.4

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$20 a b = 2 \cdot (5 a) \cdot (2 b)$

Paso 9.5

Reescribe el polinomio.

$(5 a + 2 b) ({(5 a)}^{2} + 2 \cdot (5 a) \cdot (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Paso 9.6

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 5 a$ y $b = 2 b$ .

$(5 a + 2 b) {(5 a + 2 b)}^{2}$