Álgebra Ejemplos

$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{3}{2})}^{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{3}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{3}{2})}^{y} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{3}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln ({(\frac{3}{2})}^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

Reescribe $\ln (\frac{3}{2})$ como $\ln (3) - \ln (2)$ .

$y (\ln (3) - \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

Paso 2.5

Divide cada término en $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ por $\ln (\frac{3}{2})$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ por $\ln (\frac{3}{2})$ .

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (\frac{3}{2})$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.3

Expande $\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $\ln (\frac{3}{2})$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = {(\frac{3}{2})}^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}$

Paso 4.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = \frac{3^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}{2^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$